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这个时代,数学的机遇和挑战在哪里?

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发表于 2020-5-12 10:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
这个时代,数学的机遇和挑战在哪里?

作者:刘若川

北京大学博雅特聘教授,2019年度“科学探索奖”数学物理学领域获奖人。

获奖理由:肯定他致力于将经典的复数域上的几何学理论拓展至p进数域,对p进簇的黎曼-希尔伯特问题取得突破性进展,鼓励他在非交换p进Hodge理论方向努力攻坚。


在这里,我们不妨对数学漫谈一场,看看这门学科正面临着怎样的机遇与挑战。

科学和数学| 书写宇宙的文字

现代科学的认识论基础,植根于两位伟大的哲学家:英国的培根与法国的笛卡尔。

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弗兰西斯·培根(左)和勒内·笛卡尔(右) 图源:维基百科

按照培根的观点,科学家需要周游地球收集事实,直到所积累的事实能揭示出自然界的运动方式。

而在笛卡尔看来,科学家则只需要呆在家里,通过纯粹的思考来推导出自然规律。

数学的发展将这两种观点有力地结合起来:人们以数学作为语言,通过对事实的积累和提炼,来表达自然运作所遵循的法则,进而利用数学作为工具,通过纯粹的思考推演出新的自然规律。

比如开普勒利用第谷·布拉赫积累的观测资料,总结出行星运动的法则,即所谓的开普勒三大定律。

牛顿则受到开普勒第三定律的提示,通过发明微积分这一强有力的数学工具,开创了牛顿力学的辉煌体系。

伽利略曾说过“数学是上帝用来书写宇宙的文字”。

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牛顿1672年使用的6英寸反射望远镜复制品  图源:维基百科
         
在更“应用”的科技领域,数学的作用也是非常强大的。 例如我们中国的科技公司在通信领域的领先很大程度上应当归功于数学家在算法及编码方向的贡献。

反过来,科学,特别是物理学的发展,也为数学提供了很多新的思路,极大地促进了数学的发展。

例如受到物理学中的超弦理论启发而提出的「镜像对称猜想」,就是目前数学界非常活跃的研究方向。我目前的研究中一个重要的研究对象「希格斯场」,也是物理学家首先提出来的。

数学是科学的一门语言,每个领域专业人员对数学的认知,很大程度上取决于本领域对数学的需要程度。虽然数学的应用无处不在,但大多数应用所需要的,可能都是一、二百年前,甚至更早就已经发展成熟的数学理论。

所以数学会给人一种发展缓慢甚至不再发展的印象,实际上这门学科从上世纪以来获得了空前的发展,目前人工智能、生物学等方向的进步,也给数学提出了很多新的挑战。

大众和数学| 无处不在的数学视野

对一般受教育者来说,数学往往与数字和计算联系在一起。

计算固然重要,但数学远不止是计算,真正重要的是计算背后蕴含的原理与结构。

这个时代,数学的机遇和挑战在哪里?-3.jpg   图源:Pixabay

打一个比方,对于数学家来说,注意到 3+5=5+3 ,进而得出 a+b=b+a 这个一般性规律,可能远比知道 3+5=8 来得重要。

我个人比较喜欢的一个定义是:数学是研究模式的科学 (science of patterns)。从这个意义上讲,数学的视野是无比广阔的。

我们的数学教育,长于对计算与解题能力的训练,中国留学生在海外一般都会被打上数学好的标签,因为数学考试成绩好。

但另一方面,我们在数学思维的培养上还有不少提升空间。

什么是数学思维?我认为主要有两个方面:

● 一个是面对实际问题,能发现哪些部分是可以用数学来解决;

● 一个是运用数学的方式,来总结各种实际经验,通常所说的标准化,程序化,数字化等等,其实都在此列。

许多与日常生活紧密相关的事情,比如组织架构设计,公共交通优化等等,数学与数学思维都是大有用武之地的。今天很多创新产品或者商业模式,就是数学思维的体现。

比如我平时观察,诸如商场、火车站、飞机场等地方的指示牌,有相当的比例都不是很直观明了。

在我看来,怎样把指示牌设置好,本质上是一个数学问题。又比如我们看到美职篮(NBA)比赛里有大量的数据呈现,这些数据会帮助人们比较客观地判断球员的能力与状态,这也是一个数学思维应用的体现。

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从训练到比赛,NBA运用了大量的数据统计和分析  图源:Pixabay

正如华罗庚先生所说:“宇宙之大, 粒子之微, 火箭之速, 化工之巧, 地球之变, 生活之谜, 日用之繁, 数学无处不在。”

数学家和数学 | 异彩纷呈的后花园

“傅立叶先生认为,数学的主要目的是服务人类、解释自然现象;但像他这样的哲学家应该知道,科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀,因此一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义。”—— 雅可比 (1830年7月2日)

雅可比与傅立叶都是青史留名的大数学家,但从上文可以看出,他们对数学意义的看法也不尽相同。

原因可能在于,傅立叶同时也是一位物理学家,他把他在数学上最伟大的贡献“傅立叶分析”应用于热学的研究。而雅可比则是那种更“纯粹”的数学家,虽然他对经典力学也有极重要的贡献。

19世纪前,数学与自然科学不分家,数学家往往也是自然科学家,伟大的数学家高斯说过:“数学是科学的王后” 。

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高斯在其出生地布伦瑞克的雕像 图源:维基百科

但自上世纪以来,数学高速发展,新的分支不断涌现,抽象化的趋势愈来愈明显,特别是被称为“纯数学”的部分,渐渐成为数学家自己的后花园。

很多数学家沉浸于花园的美景,花费毕生的心血,或施肥,或浇水,又或者培育新的花种。花园中的数学家认为研究数学纯是因为她的美与真,而不是其它。罗素甚至认为,数学之能用作科学的工具,是意外的收获。不过花园虽美,但数学高度的技术性,犹如一面高墙,将许多观光客挡在外面,殊为可惜。

我的研究领域属于数学中比较“纯粹”的一个分支——数论。我们熟悉的哥德巴赫猜想,孪生素数猜想,费马大定理等都属于这个分支。

我很喜欢张益唐先生说过的一句话:“数论是横在人类智力前面的一条横杆,而且不能调整高度,就看你有没有本事跳过去”。

中国文化和数学| 超越“有用之学”

我们中华民族是一个理性务实的民族,传统上我们的理性更多的是一种常识理性,在经验的积累方面做得相当之好, 但在对基本原理的提炼方面,没有能够完成从定性到定量的突破,遑论构建现代意义上的科学体系。

西方的传教士刚来到中国的时候,对中国工匠的技艺有极高的评价:

“ 在中国存在着你所能想象到的任何一种手工艺匠,人数之多,简直难以计数。他们制作好陈列在店里的东西,其精巧程度会吓坏所有欧洲人......所有欧洲货物,他们只要见过,都可以仿制得惟妙惟肖。”

但我们熟悉的利玛窦(与徐光启一起将欧几里得的《几何原本》引入中国)则注意到,当时的中国人“缺乏逻辑法则的概念” 。

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《几何原本》内利玛窦(左)和徐光启(右)的插图  图源:维基百科
         
言下之意,如果加上西方擅长的数学与科学,中国一定可以更上一层楼。

今天科学的实证精神在中国已经完全扎根。但在基础研究方面,我们也切莫过于纠缠所谓“有用”或者“无用”。

丁石孙先生说过:“数学往往能够对不同的学科起作用,但是,对什么学科起作用,以什么样的方式起作用,并不是人们事先能够预料的。”

爱因斯坦建立广义相对论时所需要的数学工具「黎曼几何」,由德国数学家黎曼于此之前50年开创。黎曼创此学问之时,虽然已经有物理学上的考量,也还需要50年才可以成为所谓的“有用之学”。

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爱因斯坦同样站在了巨人的肩膀上  图源:Pixabay

科技甚至文明,往往就是以这样一种方式演进。如果我们一直拘泥于所谓的“有用之学”,我们就会永远跟随在别人的后面,甚至有陷于停滞的危险。

“ 假如我们停止科学的追求,而只关注科学的应用,我们很快就会变成中国人那样,他们在很多朝代以来都没有在科学上取得什么大的进步,因为他们只满足于科学的应用,却从来没有追问过他们所做事情中的原理。”

这是美国物理学家亨利·奥古斯塔斯·罗兰1883年在一场题为《为纯科学呼吁》的演讲里的内容,借此与大家共勉。

01

Q:你觉得数学在这个时代意味着什么?

A:我觉得这个时代的特点是人类的文明已经达到一定程度了,普通人生活中的所见所得,里面包含的科学原理其实是非常深奥的。他不需要懂得这些原理,也可以很好地享受物质文明。比如冰箱、电视。常人对于科技的理解就是能造一台汽车,但造汽车的背后是什么呢?一层层推下去,最底层是基础科学支撑起来的。

但基础科学本身并不能够马上给生活带来变化,比如说你学过法拉第和麦克斯韦的理论,当时谁能想到这些发现能用来造电动汽车?这本身也不是他们需要考虑的问题,因为在他们之后,另外有一批人(比如爱迪生),让基础科学和实际生活产生了联系。

数学是一种非常基本的语言,在最基本的层次上可以用来描述我们遇到的问题里面最本质的东西。你想去理解某个东西的终极形式,你就要用到数学。

02

Q:比起同时代的其他学科,你觉得数学的发展是相对超前还是滞后了?

A:我不能下判断,因为我的了解还是比较有限。每个学科都有自身内部的驱动力,有内部的评判标准,我们会有自己的审美标准和价值体系来评价自己的学科,所以这个没法互相比较。

但另一方面,数学作为一种万有的语言,它也有义务为其他学科的发展做出应该做的事情,所以从这个角度来讲我们还是有很多欠账的。比如生物学、人工智能等方面。

单纯从数学本身来讲,我认为现在她处于爆炸发展的阶段。数学的特点和其他学科不太一样,很多学科会因为新发明而淘汰旧东西,但数学的标准是统一的,两千年前的结论到现在都是对的。你是一步步堆着砖头往上走,现在数学很广泛,每个人只能懂一小块,你得把别人的路子走过一遍,这在客观上增加了数学向前推进的难度,现在的数学家花在学习方面的精力会更多了,不像以前的数学家,可能在少年时候就可以做出很好的成绩,现在这个时间要往后推了,尤其是某些分支。客观上我觉得数学研究的技术性是越来越强了。

总而言之,和三十年前比数学发展得很快速,但这里面也有个危险是学科的割裂,可能以后大家都是做数学的,但彼此都不知道对方在干什么。这是我们需要担心的问题。

03

Q:你觉得数学最迷人的地方在哪里?

A:做个比喻,人们都喜欢美丽的风景,数学对于我们这些人而言,是可以像风景一样欣赏的。你理解数学里的一件东西后,你会觉得它很美、很漂亮。

另一方面,你还可以介入其中,用自己的努力来创造出这样的景色来,发现一些别人所未见的东西,或者解决前人解决不了的问题,相当于在一片很空旷的荒野之上又创造出一份独一无二的景色,而且一切都是在你的脑子里发生的,我比较享受这样的感觉。当然研究本身还是很辛苦的,也需要一定的特质。

04

Q:你怎么看待奥数,是否也需要特质才合适?

A:我觉得奥数比较适合在数学方面有特质有兴趣的学生。把它搞成全民化,作为升学的标准,会给社会带来过多的压力。我觉得奥数不应该给人们带来困扰。但另一方面,对于在科学与数学上有特质有兴趣的中学生,以我们现在的中学教育现状而言,数学竞赛是不多的可以真正为这些学生提供助益的资源。

另外叫奥数我觉得不是很好听,什么叫奥数?数学只有一种,奥数听起来怪怪的(笑),我还是喜欢数学竞赛这样的叫法。

05

Q:这一代学生和你们那一代,你觉得有什么不一样的地方吗?

A:有不同,但我觉得这不是学生本身的问题,而是环境和时代的问题。

他们接触到的信息比较多,人生的选择和可能性都更多了,这会加大选择的难度,也会分散注意力,但另一方面,人要做成一件事情,尤其是学术方面,还是得专注在一个方向去耕耘。

现实中他们需要考虑到房价、收入等因素,有经济上的压力,这和我们那一代思维不太相同。

但反过来,今天我们想要有一个还不错的生活条件,其实是比过去容易的,因为生活水平在普遍提高,只是我们对物质的欲望也随之变高了,凡事都有双面性,所以他们这一代的挑战在于需要找好自己内心的平衡点。

06

Q:除了数学以外,你会怎么去和自己不擅长的地方相处?

A:首先我在数学上也是有短板的,数学和音乐、体育一样,人和人的差距可以非常大,就像百米赛跑中第二名和博尔特的差距一样肉眼可见。数学上你会发现那些最顶级的天才比你强太多了。

如果说生活上的短板,那还是得接受啊,哪怕有生之年也没办法改进,那就少碰就好了。我们中国伟大的几何学家陈省身先生,他说过一些话我觉得非常好,就是做数学的精神状态,可以用来对抗生活中其他的事情。因为生活中肯定会有很多让你不愉快的事情存在,你会感到紧张,也会有压力。到了一定年纪之后,你会觉得保持创造性非常重要。长时间沉浸在紧张的脑力劳动之后有所创造的愉悦感,这种状态可以帮助你对抗很多生活中的不愉快的、枯燥乏味的,或者说磨损你的事情。

07

Q:最喜欢历史上哪个数学家?

A:有个英国数学家叫安德鲁·怀尔斯,他当年对我的激励作用是蛮大的,他研究费马大定理研究了很多年,他也不是一个看起来特别聪明的人,但他用8年的时间把这个问题做出来了,这是非常令人佩服的。

我们特别享受的感觉,就好比在一个漆黑的夜晚,走在一个楼里,不知道哪里有路,你只能不停地摸索,这里碰碰,那里碰壁,突然摸出一条路,还发现有个开关,最后把这个灯点亮了,这种感觉非常好,怀尔斯就是用8年时间把费马大定理的灯全打开了。

08

Q:你会给今年的数学领域申报人什么建议?

A:(笑)很难有什么建议可言,因为拿一个奖也不是你能控制的。你做的东西好坏其实很清楚就摆在那里。

所以有时候我去申报其他的奖项或者经费,行政人员会建议我PPT怎么做会更漂亮更细致。我是觉得它本身就在那里,不是说你美化得漂亮一点,排版好一点就会怎样,我从来都是这种价值观,当然这只是个人选择,算不上建议。我是说,我认为这个东西的价值本身摆在那里。
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