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《几何原本》第五公设有关命题简介

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发表于 2020-5-10 23:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
《几何原本》第五公设有关命题简介

作者:刘瑞祥

《几何原本》第五公设有关命题简介-1.jpg



《几何原本》中的第五公设,一直是《几何原本》研究的中心问题,直到"非欧几何"创立以后才获得解决。本文不是回顾有关历史的,而是通过总结有关问题来梳理一下《几何原本》里这个公设的地位。不过本人仅是普通的数学爱好者,错谬之处在所难免,敬请读者指正。

《几何原本》中的第五公设,原文如下:同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于二直角的,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。这一表达相当复杂,现代数学往往以"过直线外一点(最多)只能作一条平行线"代替第五公设;在《几何原本》中,与第五公设相关的部分命题如下:

平行线的性质命题、传递性、唯一性命题

【I.29】 一直线和两条平行直线相交,所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角的和等于二直角。

【I.30】 一些直线平行于同一条直线,则它们也互相平行。

【XI.9】 两条直线平行于和它们不共面的同一直线时,这两条直线平行。

三角形及多边形的内角和、外角和命题

【I.32】 在任意三角形中,如果延长一边,则外角等于二内对角的和,而且三角形的三个内角的和等于二直角。

勾股定理及逆定理、余弦定理

【I.47】 在直角三角形中,直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。

【I.48】 如果在一个三角形中,一边上的正方形等于整个三角形另外两边上正方形的和,则夹在后两边之间的角是直角。

【II.12】 在钝角三角形中,钝角所对的边上的正方形比夹钝角的二边上的正方形的和还大一个矩形的二倍。即由一锐角向对边的延长线作垂线,垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。

【II.13】 在锐角三角形中,锐角对边上的正方形比夹锐角二边上正方形的和小一个矩形的二倍。即由另一锐角向对边作垂直线,垂足到原锐角顶点之间一段与该边所构成的矩形。

平行线截线段成比例及三角形相似命题

【VI.2】 如果一条直线平行于三角形的一边,则它截三角形的两边成比例线段;又,如果三角形的两边被截成比例线段,则截点的连线平行于三角形的另一边。

【VI.4】 在两个三角形中,如果各角对应相等,则夹等角的边成比例,其中等角所对的边是对应边。

【VI.5】 如果两个三角形它们的边成比例,则它们的角是相等的,即对应边所对的角相等。

【VI.6】 如果两个三角形有一个的一个角等于另一个的一个角,且夹这两角的边成比例。则这两个三角形是等角的,且这些等角是对应边所对的角。

【VI.7】 如果在两个三角形中,有一个的一个角等于另一个的一个角,夹另外两个角的边成比例,其余的那两个角都小于或者都不小于直角。则这两个三角形的各角相等,即成比例的边所夹的角也相等。

【XI.17】 如果两直线被平行平面所截,则截得的线段有相同的比。

建立在平行、比例基础上的面积、体积命题

【I.35】 在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。

【I.41】 如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间,则平行四边形是这个三角形的二倍。

【VI.1】 等高的三角形或平行四边形,它们彼此相比如同它们的底的比。

【VI.14】 在相等且等角的平行四边形中,夹等角的边成互逆比例;在等角平行四边形中,若夹等角的边成互反比例,则它们相等。

【VI.16】 如果四条线段成比例,则两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形;并且如果两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形,则四条线段成比例。

【VI.19】 相似三角形互比如同其对应边的二次比。

【XII.1】 圆内接相似多边形之比如同圆直径上正方形之比。

【XII.5】 以三角形为底且具有等高的两个棱锥的比如同两底的比。

【XII.8】 以三角形为底的相似棱锥的比如同它们对应边的三次比。

圆幂定理及逆定理

【III.35】 如果在一个圆内有两条相交的弦,把其中一条分成两段使其构成的矩形等于另一条分成两段构成的矩形。

【III.36】 如果在一个圆外取一点,且由它向圆作两条直线,其中一条与圆相截而另一条相切,则由圆截得的整个线段与圆外定点和凸弧之间一段构成的矩形,等于切线上的正方形。

【III.37】 如果在圆外取一点,并且由这点向圆引两条直线,其中一条与圆相截,而另一条落在圆上。假如由截圆的这条线段的全部和这条直线上由定点与凸弧之间圆外一段构成的矩形等于落在圆上的线段上的正方形,则落在圆上的直线切于此圆。

正多面体相关命题

【XIII.13】 在已知球内作内接棱锥,并且证明球直径上的正方形是棱锥一边上正方形的一倍半。

【XIII.14】 像前面的情况一样,作一个球的内接八面体;再证明球直径上的正方形是八面体一边上正方形的二倍。

【XIII.15】 像作棱锥一样,求作一个球的内接立方体;并且证明球直径上的正方形是立方体一边上正方形的三倍。

【XIII.16】 与前面一样,作一个球的内接二十面体;并且证明这二十面体的边是称为次线的无理线段。

【XIII.17】 与前面一样,作一个球的内接十二面体;并且证明这十二面体的边是称为余线的无理线段。

其它命题

【IV.5】 求作已知三角形的外接圆。

【XI.21】 构成一个立体角的所有平面角的和小于四直角。

几点说明:

1、【I.29】表示第一卷第29命题,后同;

2、由于历史原因,其中有一些名词不太好懂,比如【XIII.17】(第十三卷命题17)中的"余线",请参阅《几何原本》中文版;

3、《几何原本》中几乎所有比较"复杂"的命题都和第五公设有关,上表并未全部列出。



下面针对其中几个命题作一介绍:

【I.32】------三角形内角和定理

这是一个应用第五公设的重要定理,证明是简单的。关于这个命题还有下面一个貌似没有用到第五公设的证明:

《几何原本》第五公设有关命题简介-2.png

这一"证明"见于《初等几何研究》(胡杞、周春国著,北京师范大学出版社1989年版),原著中是供学习者分析的。这里最关键的是用到三角形ABD和ACD内角和相等,而这是没有依据的。也可以这样说,"所有三角形内角和都相等"和第五公设等价。(在阿基米德公理成立的前提下)

【IV.5】------求作已知三角形的外接圆

《几何原本》第五公设有关命题简介-3.png

这个命题的作法和证明都很简单,这里要说明的是其证明过程中似乎没有用到第五公设,那为什么要把这个命题也列在其中呢?

这里假设了这样一个前提:AB和AC边的中垂线一定能相交于一点。而如果第五公设不成立的话,两条相交线的垂线不一定相交,即此时并非所有三角形都有外接圆。

这个命题给我们一个启发------第五公设有时会隐藏得相当深,因此,我们在分析一个命题所依赖的公理时要非常小心。

【XI.21】------构成一个立体角的所有平面角的和小于四直角

《几何原本》第五公设有关命题简介-4.png

这个命题的直观形象是,将一个棱锥的侧面沿着侧棱剪开后铺成平面,不会铺成一周,总会留有空隙。《几何原本》在证明这个命题时用到了三角形内角和定理,从而间接地用到了平行公设。

法国数学家阿达玛所著的教科书《立体几何》(朱德祥译,上海科学技术出版社1966年版)给出了下面的证明方法:

《几何原本》第五公设有关命题简介-5.png

这里看上去只用到了"由三个平面构成的立体角,任意两个平面角之和大于第三个平面角"。到底是这个证明根本就不需要第五公设还是仅仅是没有"显式"地用第五公设?笔者抱有相当的疑问。



我一向认为,只有从正反两个方面来看问题,才能获得对问题的正确认识,所以这里给大家总结一下没有用到第五公设的命题。如同前面所说的一样,这里也没有列出全部命题。

平行线存在命题、判定命题

【I.27】 如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等,则这二直线互相平行。

【I.28】 如果一直线和两直线相交所成的同位角相等,或者同旁内角的和等于二直角,则这二直线互相平行。

【I.31】 过一已知点作一直线平行于已知直线。

三角形全等命题

【I.4】 如果两个三角形中,一个的两边分别等于另一个的两边,而且这些相等的线段所夹的角相等,那么,它们的底边等于底边,三角形全等于三角形,这样其余的角也等于相应的角,即那些等边所对的角。

【I.8】 如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边,并且一个的底等于另一个的底,则夹在等边中间的角也相等。

【I.26】 如果在两个三角形中,一个的两个角分别等于另一个的两个角,而且一边等于另一个的一边,即或者这边是等角的夹边,或者是等角的对边,则它们的其它的边也等于其它的边,且其它的角也等于其它的角。

不等式命题

【I.16】 在任意三角形中,若延长一边,则外角大于任意一个内对角。

【I.17】 在任何三角形中,任意两角之和小于两直角。

【I.20】 在任何三角形中,任意两边之和大于第三边。

其它一些简单命题

【I.5】 在等腰三角形中,两底角彼此相等,并且若向下延长两腰,则在底以下的两个角也彼此相等。

【I.9】 二等分一个已知直线角。

【I.15】 如果两直线相交,则它们交成的对顶角相等。

【III.17】 由已知点作直线切于已知圆。

下面主要说明其中的两个命题:

一是【I.31】,即平行线的作法,这已经是【I.29】后面的命题了,所以所谓"第一卷从【I.29】开始的命题都和第五公设有关"的说法是不正确的。

另外一个是【III.17】------从圆外一点作切线,《几何原本》里是这样作的:

《几何原本》第五公设有关命题简介-6.png

这里就不列出原书中的证明了。

现行中学教材里,如果给了圆外一点A和圆心B,则连接AB,然后以线段AB的中点C为圆心、AB长度一半为半径作圆,与已知圆交于D、E两点,直线AD、AE即为所作切线。

《几何原本》第五公设有关命题简介-7.png

但这需要一个前提------直径所对的圆周角为直角,从而要间接用到第五公设。(注意:"切线与过切线点的半径垂直"这一点,无须第五公设)

笔者选择这个命题还有一个考虑,那就是以这个命题来表明在第一卷以后还有一些和第五公设无关的命题,而事实上第三卷的【III.1】~【III.20】和第十一卷(自此《几何原本》转入立体几何部分)的【XI.1】【XI.8】都和第五公设无关。当然,第五卷比例论、第七至第九卷数论、第十卷不可公度量亦与第五公设无关,这是毋庸多言的(第十卷用到了面积,但本质是数的乘法)。
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