逐句指证“Cantor无最大基数定理的证明”是错误的

zhaolu48

　　　　　　　逐句指证“Cantor无最大基数定理的证明”是错误的
　　　　　　　 山东枣庄二中　赵　禄（电邮zhaolu48@163.com）
　　先看Cantor无最大基数定理：“对任何非空集A，|P(A)|>|A|(即A的幂集P(A)的基数大于A本身的基数)”的原始证明．
　　证　①作映射g:A→P(A),x→{x},令B={{x}:x∈A}真包含于 P(A)，,则g:A→B为一一映射，所以A～B 真包含于P(A),从而|A|≤|P(A)|．
　　②证{A}≠{P(A)},即对任何映射f:A→P(A)都不可能是一一映射．用反证法，设存在一一映射f :A→P(A),x→f(x)=A(x)∈P(A),同时A(x)是A的一个子集．
　　令A*={x∈A:x不属于A(x)}                　　      (1)
从A～P(A)，对于A*∈P(A)，存在x1∈A,使得
　　　　　 f(x1)=A*                                  (2)
　　若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f(x1)=A*；同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f (x1)= A*,都导矛盾．
　　逐句指证如下：
　　“令A*={x∈A:x不属于A(x)}　　　　(1)”
　　由一一映射的假设知，不同的x有不同的A*。且有A(x)≠A*。
“从A～P(A)，对于A*∈P(A)，存在x1∈A,使得
　　　　　 f (x 1)=A*                                  (2)
　　若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f(x1)=A*”
　　“若x1∈A*”，由(1)得到x1不属于A(x),而不是x1不属于A(x1)，
因此“得到x1不属于A(x1)”是不正确的，这是一个偷换概念的逻辑错误。
　　因为A(x)≠A*，即f(x)≠f(x1)，由一一映射的假设知，x≠x1。因此x1不属于的那个“A*”应当是
　　“A*”={x∈A:x不属于A(x1)}={x∈A:x不属于A*}，它与前面(1)中定义的A*是不等的，
　　即A*={x∈A:x不属于A(x)}≠{x∈A:x不属于A(x1)}={x∈A:x不属于A*}。
　　从而“若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x1)=f(x1)=A*”应改为：
　　“若x1∈A*,则由(1)(2),得到x1不属于A(x)≠A(x1)=f(x1)=A*；”
　　x1不属于A(x)，由(1)知，仍是x1∈A*。
　　“同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f(x1)= A*”也应改为：
　　“同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x)≠A(x1)=f(x1)=A*”
　　x1∈A(x)，由(1)知，即是x1不属于A*。
　　“都导矛盾”也应改为：没有矛盾。

wangyangkee

希望俞根强，闹蠢货，闹下去，，，否则，，，俞氏荣耀，要泡汤，会打水漂，，，，