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探求“无限”奥秘的数学家 一一拉马努金 (上)

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发表于 2020-4-27 18:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
探求“无限”奥秘的数学家 一一拉马努金

作者 | 颜一清(曾任教于辅仁大学数学系, 现已退休)
来源 | 数学传播27卷3期

1.        引子

印度数学在第 4 世纪至第 12 世纪间曾经蓬勃发达过。它有别于希腊数学与中国数学, 独树一帜, 着重在数式运算方面。其间有名的数学家有阿耶波多(Aryabhata,约 476-550), 婆罗摩笈多(Brahmagupta,588-约 660) 与婆什伽罗(Bhaskara,1114-1185) 等人。我们现今使用的简便好用的数字便是印度数学所赐。印度数字后来传到阿拉伯, 稍经修改后再传入欧洲, 沿用至今。

12 世纪以后印度数学沉寂了长久的一段时间。一直到20 世纪初在南印度出现了一位自学的数学家, 叫做拉马努金(Srinivasa Ramanujan)。他在数论方面大放异彩, 令人刮目相看。

拉马努金出生在南印度 Madras 附近的穷困婆罗门人家。他从小记性与计算能力好极, 15 岁时朋友介绍他看 G. S. Carr 的一本公式集。从此他被这本书迷住了, 自己证明那些公式, 并且学着用它简单的表达方式。拉马努金有两本笔记本写满了他的数式心得。照他的说法, 他的女守护神 Namagiri 常常会指引他作数学。

拉马努金念大学时本来有奖学金, 后来因太专注于数学, 英文作文不及格, 奖学金被取消, 他受不了打击, 从家中出走。后来回家重念其他学校, 但又因数学以外全不及格而辍学。

他的母亲为定下他的心, 让他娶远房 9 岁的小新娘。他确也觉得自己成年了, 夹着他的两本笔记本到处求职,  笔记本是要人家看出他是有数学运算能力的人,   希望能得到一份适当的工作, 可有余暇做他喜爱的数学。经由有心人士的安排, 他确也得到一份工作, 在 Madras 港务信托工作了一阵。他交出的报告中往往夹带着一些数学式子, 上面的人也都很大方, 不会介意那些。

那时候 Journal of the Indian Mathematical Society 刚刚开始发行, 拉马努金便投稿, 出些题目或解出杂志中的题目而逐渐有了名气。有识之士看到这些, 觉得 Ramanujan 应该受到适当的栽培, 便教他写信给英国的名数学家 (当时印度还是英国的殖民地)。

Ramanujan 挑了三名英国名数学家 H. F. Baker, E. W. Holson 与 G. H. Hardy, 给他们写信。前两人没有回信。第3 位 Hardy 当时是英国顶尖的解析学家。Hardy 认真地看  Ramanujan 信中的许多公式。那里面有些是既知的, 有些 Hardy 导得出来, 有些看起来很奇特。Hardy 认为这些应该都是 Ramanujan 本人做出来的。虽然式子中错误不少, 但看来 Ramanujan 该是创意极高的人。于是 Hardy 回了信, Ramanujan 得到鼓舞, 又写信给他。Hardy 怂恿 Ramanujan 到他所在的剑桥大学三一学院一起作研究。那是有困难的。不过 Ramanujan 终于排除困难来到英国, 跟 Hardy 共同作研究。Ramanujan 有许多创意, 而Hardy 看它们的可行性与否。他们一共合作了5 年 (1914-1918) 之久。

但是第一次世界大战在 1913 年爆发。德国人后来封锁英吉利海峡, 切断英国的补给线, 使得英国的物资很缺乏。而 Ramanujan 到英国后毫不改他的信仰与生活方式。他是纯素食者, 好多东西都不吃, 因此他逐渐营养不良, 进而生病住院 (1917 年春), 医生的诊断是肺结核。

由于 Ramanujan 多篇发表出来的作品, 受到肯定, 1918 年间他陆续获得皇家学院院士(Fellow of Royal Society) 与三一学院院士 (Fellow of Trinity College)。这些奖对印度人是首例。得奖使 Ramanujan 的心情好起来, 病也有起色了。

战争在 1918 年11 月11 日结束。航海的危险性没有了。Ramanujan 于是在 1919 年3 月13 日搭船回印。回到故乡后他受到英雄式的款待。他们给他最好的医生与诊治, 但是 Ramanujan 的病情越来越坏, 终于在 1920 年4 月26 日不治。

Ramanujan 在病榻上还是不断研究数学, 写成的纸张可收成另一本笔记。它和他的两本笔记本至今仍有专家学者们研究, 写成书。他的研究主要在数论方面, 但是如今他的成果还可以使用到应用科学, 如力学、 结晶学与计算机科技方面。

年轻的印度人认为他是好榜样, 陆续有人效法他, 而使印度数学发达起来。
 楼主| 发表于 2020-4-27 18:12 | 显示全部楼层
2.        成长时期

K. Srinivasa Aiyangar (1863-1920 11月) 与 Komaltammal (1868 1月28 日??) 是南印度地方穷困的婆罗门族夫妇。他们结婚数年不育, 便听从 Komaltammal 的母亲 Rangammal 的话, 多次向 Namakkal 地方的女神祇 Namagiri (狮王 Narasimha 的配偶) 祈求得子。终于 Komalatammal 有了身孕, 便随当地习俗在临盆前回到 Erode 娘家, 于 1887 年12 月22 日生下一男婴, 命名为 Srinivasa Ramanujan。一年后母子回到 Kumbakonam 的丈夫家。

他们的家计是由丈夫长久在一家纱丽布店做店员, 月薪 20 rupee 来维持, 而太太在附近的寺庙里参加歌咏队。唱歌的报酬由寺庙与歌者平分。一个月也有 5 至 10 rupee 之谱, 这对他们的家庭不无小补。

但是在 1889 年12 月 Komalatammal 难得地没去歌唱。歌唱领队便去她家探望。近门处她发现有一堆 margosa 树叶, 那表示家里有人得天花, 而两岁的 Ramanujan 躺在树叶上, 他母亲边唱歌边拿叶子用浸过郁金粉的水冲洗他因发痘红肿的小身体。Ramanujan 就这样病好了, 也没有留下疤痕。

在阴湿高温的印度, 小孩子的死亡率很高。Ramanujan 之后出生的一弟与二妹都夭折了。1898 年与1905 年 Ramanujan 才得到两个弟弟。所以 Ramanujan 长期如独子般在母亲呵护之下长大, 他从母亲学到生活、 信仰方面的细节。他长相、 体格都像母亲, 长得矮胖, 也跟母亲亲近。Namagiri 早成为他家族信奉的守护神了。

不过 Ramanujan 的个性有很拗的一面。小时候吃的东西不如他的意, 他会跑去街道上的泥浆里翻滚。他三岁才会讲话, 个性安静, 喜欢想事情, 会问大人如: 世界上的第一个人是谁等问题。

当时婆罗门阶级的人不再全是高高在上的统治阶级的人了。他们三教九流都有, 有卖茶的、理发的、 教师、 高等官员等。不过他们很保守, 交往都在婆罗门圈子内, 像买菜, 吃东西都去婆罗门阶级开的店。他们虽然已经没有已往印度最高阶级的光彩, 但是一般来说他们受的教育较高, 在地方, 政府的地位也较高。由名字最后一个字可以识别他们阶级的类别。Ramanujan  往后来往的人也大都属于婆罗门阶级。

Ramanujan 母亲祖先是梵文学者, 得过当时的国王赏赐。

1911 年左右印度 Tamil 地方受过教育的婆罗门男性懂得英语 (统治国英国的国语) 的只有 11%。不过懂得它容易进阶, 收入又好。

Ramanujan 的父母亲很穷, 懂 Tamil 母语, 不懂英语。Ramanujan 母亲懂得一点天文。

1892 年 10 月 Ramanujan 进入 Kumbakonam 附近的学校, 几年间因他母亲带进、 带出而换了几所学校。不过他在 1897 年 11 月, 10 岁年纪就考过英语、Tamil 语、算术与地理, 是地方上第一名的成绩。1898 年 1 月他以优异成绩考进当地的英语中学 Town High School。它离家里只有数分钟距离。

二年级时同学们开始请教Ramanujan 数学问题。到了三年级他便会向老师挑战了: 老师说任何数除以它本身成 1, 他便问零零除会成为 1 吗?

Ramanujan 家为了增加收入, 也让学生住宿。住在 Ramanujan 家的两个婆罗门族大学生知道他对数学有与趣, 便教 Ramanujan 他们所知道的数学知识, 但是几个月后他们便技穷, 没辙了。Ramanujan 怂恿他们从大学图书馆里借数学书给他。其中有一本是当时南印度学校里通用的 L. Lonley 的1893 年版 “Trigonometry”。Ramanujan 13 岁时已经熟稔它的内容了。他又从一个年长的学生学到了 3 次方程式的解法。Sine, cosine 函数他是以无限级数的形式来了解的。他可以算出 π 与 e 的数值到好多位。考数学他只要一半时间就做完。高他二年级的学生给 Ramanujan 他们认为的难题他一瞄就会。逐渐地, 大家对他有一份敬畏感。念中学期间他走路都有风, 不是衣服上别着奖牌便是手里拿着奖品的英文诗本走动。

1904 年 Ramanujan 得了 K. Ranganatha Rao 奖。校长给大家介绍 Ramanujan, 说 Ramanujan 的优异不是用 A+ 或 100 分所能表达的。他的成绩无与伦比!

毕业典礼时 Ramanujan 真是他母亲的宁馨儿, 预定下学期拿奖学金去念 Goverment College。

Goverment College 虽然小, 毕业生表现好, 地点好, 故有“南印度的剑桥”之称。1904 年起 Ramanujan 就读这一所大学。

但是 Ramanujan 从 Town High 毕业以前吧, 寄宿在他家的大学生给他看 George Shoobridge Carr 写的 “A Symposis of Elementary Results in Pure and Applied Math- ematics” ((I), 1880, (II), 1886; Ramanujan 大概以后才看到第 2 册)。书里面有代数、 三角学、 微积分、 解析几何学、 微分方程式等 5 仟多个数式, 只有简略的说明或证明。这是 Carr 当了多年 Tripos 的数学家庭教师的笔记精华。里面的第一个公式是 a^2-b^2=(a-b)(a+b) , 第二个公式是 a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) , 第三个公式是 a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…+ab^(n-2)+b^(n-1)] 。

Ramanujan 看到 “Symposis” 后觉得它开启了他智识活动之门。早先他在数学以外的学科也费些心思, 现在变成除了数学以外什么都不感兴趣了, 他只有数学, 不能更多。上其他课时他照样作数学。结果他英文作文不及格, 奖学金被取消了。他的母亲赶去学校向校长抗议:“怎么可以拒绝给我儿子奖学金?”校长有礼貌, 但坚决地坚持校规。

Ramanujan 每学期的学费要 32 rupee, 对家里是很重的负担。他到校才几个月, 可是他受不了给家里增加负担, 别人的侧目与应付其他科目的压力, 终于在 1905 年 8 月 17 日离家出走。他坐火车到离 Kumbakonam 484 哩远的海港 Vizagapatnum。

家人好着急, 登报寻人外他父亲还到 Madras 等处找人。9 个月后 Ramanujan 平安回来。

在印度大学文凭不但保障一份好工作, 还是一个职业的好开端。于是 Ramanujan 又进一所专供印度人读的私立大学 Pachaiyappa 学院读书, 好拿一个文凭。

数学老师看了 Ramanujan 的笔记本后印象深刻, 介绍给校长, 校长由于 Ramanujan 数学好, 便给他部份奖学金。

刚到 Pachaiyappa, Ramanujan 前途好像充满着希望。有时候数学老师上课到一半, 回过头来问:“Ramanujan, 你想再来该怎样?”Ramanujan 便上去黑板简略地提示一下, 不过同学们却是一头雾水。

Ramanujan 也会跟资深数学教授 Singaravelu 讨论数学杂志上的问题,如果 Ramanujan 做不出来, 第二天 Singaravelu 教授也解不出来。大家惊讶于 Ramanujan 的数学才华。

但是其他可厌的课程, 如生理学等还得念。而且单修过学分不算数, 还要通过 Madras 大学统筹办理的学位考试 (F. A. Examination)。Ramanujan 参加过几次, 但却没有考过, 也就放弃了。

家穷, Ramanujan 有时候会饿肚子, 左右邻居看不过, 会请他吃饭。为了赚钱 Ramanujan 问朋友的家有没有帐可记, 书可教? 教数学他是喜欢的, 不过往往教离了谱, 不是应付考试的。就这样他书没念了, 教书的工作也没了。不过对他来说这或许是最好的, 他可以专注于他的数学, 写他的笔记本。

1904 年起 Ramanujan 证明 Carr 书里的定理以外又衍生出许多自己的定理来。要记下这些, 他便开始写笔记本, 到 1970 年他离开 Pachaiyappa 学院为止他已经写了 200 多页, 里面有超几何级数, 连分数, 奇模数 (singular moduli) 等。

第二本笔记本有章、节: 讨论特殊的课题, 有关的定理等。看来 Ramanujan 整理过他做过的数学, 多少想借它来找工作吧。起先 Ramanujan 写得章节分明, 一页有一、二十行, 只写右页。到后来几页的后面有写后删掉的痕迹和一些未归类的式子。由于他跟外界没有接触, 他使用的数学符号常常是独特的。

他对数字很熟稔, 就像他们是好朋友般。因为他有空就在做数字游戏。研究他的学者 B. M. Wilson 就说 Ramanujan 研究数论常常是从数字表看出结果来。不过那个表长得惊人。他对数字熟悉, 也就很容易归纳出它们的特性来。他的成功不全是灵感的显现, 而是下了苦功的结果。

但 Ramanujan 说一个式子对他毫无意义, 除非它表示上苍的旨意。

Ramanujan 一向是矮矮胖胖的, 有一对闪亮的眼睛, 跟熟人他话匣子一开, 眼睛就会闪闪发亮。

被退学后 Ramanujan 还会去学校听课, 看老师或是借书, 有时候在寺庙里徘徊。不过他差不多时间都待在家里盘坐着。膝盖上放着大石盘忙着在上面写数学式子, 他做得顺利便微笑, 做错了就不耐烦地放下石盘, 用手肘去擦石盘。他年轻, 没工作做, 专做一些没人会了解的事。他父母忍耐过一阵, 后来他们焦急, 不耐烦起来。够了, 让他结婚吧, 他妈妈终于决定。
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 楼主| 发表于 2020-4-27 18:27 | 显示全部楼层
3.        结婚、 求职

Ramanujan 的母亲 Kumbakonam 是家中的主宰者。她去距离 Kumbakonam 60 哩处的村庄 Rajendram, 相中一个清秀的远房女孩叫做 Janaki, 才 9 岁。婚事便这样决定了。虽然 Ramanujan 看起来一无是处, 女方可没挑剔。对方是珠宝商, 起先颇有一些钱, 但后来做生意失败, 家里又有五个女儿, 所以只能给一点嫁妆。希望男方不会苛待小媳妇。

一向对事没意见的父亲这回有意见。他觉得儿子的对象可以更好。为表示抗议, 他没参加婚礼。

结婚对 Ramanujan 整个家庭来说, 没什么改变。Janaki 会待在娘家学习家事和应对公婆之道等。3 年后她达到妙龄才会回夫家。

Ramanujan 既然结了婚, 就有责任出去找一份工作。他从就近的 Kumbakonam 找事找到 Madras。而在印度找工作, 人事关系是重要的一环。在外头他没有真正的家, 有时候跟朋友露宿在外, 有时候住朋友家, 车资往往是朋友给的。他想当家教赚些钱, 但他不切实际的教法使他不容易找到学生。

他早年的家教学生 Viswanatha Sastri 已经在 Madras 的 Presidency 学院读书。Ramanujan 借住在 Viswanatha 的宿舍。Ramanujan 悲叹他的惨状, Viswanatha 安慰他说不用悲伤, 他有上苍赠与的数学才华, 等待时机到来便是。Ramanujan 则举例说 Galileo 在垂老之年被宗教迫害, 看来自己也只有穷死一途。结果 Viswanatha 又要好言劝他一番。当时是Ramanujan 感情非常脆弱的一个时期, 稍有一点喜悦就印象深刻, 不能忘怀。

有一天 Ramanujan 出现在他念 Pachaiyappa 学院时代的朋友R. Radhakrishna Iyer 处。Ramanujan 生病了。他的朋友带他看医生, 医生说“这要长期的照料。”朋友便买车票送Ramanujan 回家。临走前 Ramanujan 交给他两大本数学笔记本, 说:“如果我死了, 请把这些交给 Pachaiyappa 学院的 Singaravelu 教授或英国的数学教授 Edward B. Ross。”

说来 Ramanujan 的笔记本不单是他数学思考的记录, 也是他的资产呢。

从此, Ramanujan 开始寻找工作之旅。他第一个找的是那时候刚创办“The Indian Mathematical Society” 的 V. Ramaswami Iyer. Ramaswami 学几何, 看不太懂 Ramanujan 的笔记本, 但很惊讶。他无意让 Ramanujan 屈就在低薪阶级里, 所以没有给他工作, 而介绍Ramanujan 给 Madras 的数学家们。其中有 Seshu Iyer, 他是 1906 年 Ramanujan 在Goverment college 的教授, 4 年后转到 Presidency College。Ramanujan 带着笔记本去见他, Ramanujan 又多出一些介绍信来。

Ramanujan 也有一份要给 Ramachandra Rao 的介绍信。

Ramachandra Rao 是Presidency College 的毕业生, 学数学。做过The Indian Mathematical Society 的秘书, Nellore 镇 (约 35000 人口) 的行政及税务官, 是一位有钱、 有势的人物。他是 Ramanujan 朋友 Krishna Rao 的伯父, 也是他那一族的族长。Krishua Rao 曾经向他提过 Ramanujan, 他说:“伯父, 我有一个朋友讲数学, 但是我听不懂。您能不能见见他看他讲些什么?”

1910 年 12 月 Ramanujan 由他的朋友C. V. Rajagopalachari 陪伴去见 Ramachandra Rao。

Rajagopalachari 是 Ramanujan 的老朋友, 想当律师。他们多年后在 Madras 碰到了, Ramanujan 告诉老友他的不遇, 没有人赏识他, 当晚他想回家。

“不要走!”Rajagopalachari 说。“就住在我住处, 钱? 就用我的, 我带你去见 Ramachandra Rao! ”

首次 Ramanujan 夹着他那两本磨损的笔记本去见 Ramachandra Rao。后者教他把笔记本放在他那儿几天再来看看。第二次去时 Ramachandra Rao 说 Ramanujan 写的那些定理他没见过, 也用不着。以后不要再来烦他了。第三次去见他时, 他说得明白: 他怕 Ramanujan 耍诈。

回程时 Ramanujan 告诉他朋友, 其实他跟 Bombay 的名数学教授 Saldhana 通过信, 有他的眉批。执着的 Rajagopalachair 说:“这样够了!”, 又把他带回原处, 这回 Ramachadza Rao 生气了,“又来了, 才离开几分钟!”Ramanujan 给他看 Saldhana 教授的信, 又把 Ramanujan 尚未发表, 比较能够被接受的定理, 如椭圆函数、超几何函数、发散级数等一步一步地讲给他听。

于是 Ramanchadza Rao 问 Ramanujan:“那, 你要什么?”Ramanujan 说:“少许的钱可过日子和工作”。过后 Ramanchadra Rao 说:“他要闲暇, 也就是说, 不用费心去赚食物, 而能继续做他的梦。”

从此, Ramanujan 从 Ramanchadza Rao 处每个月收到 25 rupee 的钱, 不算多, 但可以悠哉悠哉过日子。Ramanujan 便从 1911年年初起搬到南印度的首都 Madras 来。

1911 年对 Ramanujan 是个好年头。他开始踏进 The Journal of the Indian Mathematical Society。他出了这样的题目:

  √(1+2√(1+3√(1+…))) = ?

这是他的第一本笔记本里的题目 x+n+a=√[ax+(n+a)^2+x√[a(x+n)+(n+a)^2+(x+n)√……]]] 中 x=2 , n=1 , a=0 的情形。

六个月中没有人解得出, 所以 Ramanujan 便公布答案了。

Ramanujan 登在 The Indian Mathematical Society 的第一篇论文是 “Some properties of Bernoulli numbers”。这一篇论文在作者与编辑者之间往返了三次, 即使是这样, Ramanujan 所写 Bn (n≠0, 偶数) 的性质还是有错, 如:“Bn/n 成既约分数后的分子是质数”。但 B20/20 的分子是 174611=283×617。

Ramachandra Rao 怕 Ramanujan 的笔记本遭到什么不测, 教他再抄写一份。Ramanujan 确也再抄写过。他把章、节放在适当的地方。这便是我们所知道的 “The 2nd note-books”。

差不多有一年 Ramanujan 生活在 Ramachandra Rao 慷慨资助之下。那一阵他写出了一些文章发表在 The Indian Mathematical Society 上, 也就小有名气起来。

过后 Ramachandra Rao 透过他有影向力的朋友替 Ramanujan 在 Madras 港务信托找到会计的工作, Ramanujan 提出的申请信只是形式上的。

港务信托的总管是Fransis Spring 爵士。早年他在印度铁路局做事, 因造跨过 Godavari 河的大铁桥有功而在 1911 年封爵位。他带来非常印度化, 并和温和派印度独立运动人物有关的 Narayana Iyer 当会计主任。Narayana Iyer 在 Trichinopoly 的 St. Joseph 学院得过M.A., 也在那儿教过数学。

有一次 Sir Francis 把 Narayana Iyer 叫进办公室, 问他为什么在这么重要的档案中渗进算数学的纸张? 难道在办公时间还做数学不成? Nayana 说不是他, 字迹不对, 或许是Ramanujan。Sir Francis 笑了, 他说当然那是 Ramanujan 的杰作, 他早就知道。

Narayana Iyer 是印度数学学会会员并兼总务。他不只是 Ramanujan 的顶头上司还是晚上读书的伙伴。有时候他们睡着后 Ramanujan 会醒过来记录一些他梦中想起来的数学。

Narayana Iyer 在跟 Ramanujan 讨论中发现 Ramanujan 的思考过程跳得太厉害了。要让别人了解、 接受的话, Ramanujan 写的两行之间要添加十来行才行。就这样 Narayana Iyer 不只是 Ramanujan 的上司还成为他的良师、 益友。他也让 Sir Francis 成为 Ramanujan 的支持者。他们雇用 Ramanujan 为的是让他能好好过日子, 有朝一日能有所发挥, 否则Ramanujan 的会计程度很差。他们也请教各方数学人士来判断 Ramanujan 的数学程度。但都不得要领。

看来印度没有人可以了解、 启发 Ramanujan 的数学, 只有请教剑桥大学或西方国家的数学家才行。

于是 Ramanujan 写信给剑桥大学的三位资深教授。第一位是 H. F. Baker, 皇家学院院士 (F.B.S.), 当过 London Mathematical Society 的主席。但 Baker 没有回信。第二位是 E. W. Hobson, 皇家学院院士, 任剑桥大学纯数学 Sadleirian 教席, Hobson 也没有回信。第三位是 G. H. Hardy, 当 Ramanujan 在 1913 年1 月16 日写信给 Hardy 时, Hardy 仅 35 岁, 但已经执英国数学界的牛耳了。
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 楼主| 发表于 2020-4-27 18:41 | 显示全部楼层
4.        Ramanujan 的信和 Hardy 的反应

Godfrey Harold Hardy (1877-1947) 的父母从事教育, 他另有一妹叫 Gertrude。从小Hardy 每一样功课都很好, 但由于害羞, 为避免成绩好, 拿奖, 他会故意写错答案。他在 1896 年读剑桥大学三一学院, 并在 1898 年考取 Mathematical Tripos Part I (Tripos 是从 1730 年开始有的剑桥的一种特种考试, 题目多且难, 第 1 名称为 Senior Wranger, 本人得奖外这个称号永存。), 他得了第 4 名。1900 年他考更难的 Tripos Part II, 得到第一名, 当年他便很快地成为研究员 (Fellow) 了。

Hardy 很感念他的导师 A. E. H. Love 给他严谨的解析训练, Love 更劝他读 Jordan 的 “Cours L’analyse”, 而让他对数学开了眼。从此他热诚地投入数学的研究工作。Hardy 在1900 至 1911 年间写出不少有关级数及积分的收敛性文章。不过他在解析学上最大的贡献在于他那可读性很高的经典之作 “A Course of Pure Mathematics”。

1919 年以前 Hardy 担任三一学院的 Cayley 讲座, Hardy 口才, 文章皆一流, 他主张定理要有正确的证明。听过他课的学生都对他上课的情形印象深刻。如美国数学家 Nolert Wiener 就说:“我从来没有听过像 Hardy 那样讲得清晰、有趣、有智识力量的课。”

英国的数学自牛顿以后固步自封, 不与欧陆往来、沟通, 而沈睡在它陈腐的 Tripos 制度里。一直到 1893 年 Andrew Farsyth 着 “Theory of Functions” 才介绍一些欧陆的数学概念, 但颇有草率之嫌, 须有人承继他的工作。那便是 Hardy。

Hardy 早上念书, 下午看或玩他喜欢的曲棍球或网球。他一直保持一个童稚的心和外表。不过学生认为他看起来严肃得难以亲近, 心地却是软的, 他从来不当成绩坏的学生。依他学生的话:“他对程度不好的学生非常仁慈。”

Hardy 长得很英俊, 他自己可不认为。他从来不照镜子, 到旅馆房间, 首先会把所有的镜子用浴巾覆盖起来。Hardy 独身终生。

John Edensor Littlewood (1885-1977) 出自英国中产阶级, 有神童之誉, 受正规教育。1902 年12 月 Littlewood 考取三一学院的奖学金考试而入学, 他是 1905 年的 Senior Wranger。过后有 3 年他在 University of Manechester 当讲师, 1910 年后他回到三一学院。他对数学有能力与毅力克服他所遭遇到的困难。

他身手矫健, 终生未娶, 但跟一已婚女子育有一女。

1906 年 Hardy 审查 Littlewood 的稿子, 这是他们的第一次接触。1912 年起他们两人合作达 35 年之久, 合写的论文有 100 篇以上。甚至于有人说那个时候英国真正好的数学家有Hardy, Littlewood 与 Hardy-Littlewood 。

两个人的居处距离不过 60 方步, 不过他们不是写信就是由人传达消息, 难得两人见面。

1913 年1 月16 日 Ramanujan 写一封信给 Hardy。他说:“请容我介绍我自己。我是在Madras 港务信托会计课做事的职员, 年薪只有 20 英磅, 年龄 23 岁 (事实上是 25 岁)。我没有受大学教育, 不过受过普通教育。离开学校后我用我余下的时间念数学。我没有像受过大学教育的人那般做数学而用我自己的新方式做。我对于一些一般发散级数做了特别的观察, 所得结果让地方上的数学家感到惊奇……请您过目我附上的纸张。我穷困, 所以您如果认为我的一些定理有价值, 我希望它们能够发表出来。我并没有附上实际的验证或演算过程, 但我指出我的想法。我没有经验, 不过您给的任何劝告我都会珍惜。请原谅我的冒昧。”

Ramanujan 附上的定理占去 9 张纸。

Hardy 觉得 Ramanujan 的定理很奇特, 就像他看到一座森林, 它的树木却像从其他星球上移植过来那般。

Hardy 浏览过 Ramanujan 的信后便把信搁置在一边, 开始做他当天该做的事。但他心中的一个角落里一直在乎着他看过的信,“也该让 Littlewood 看一下那信吧。”他想, 便教人传信说当晚想与 Littlewood 见面。

那个晚上两个人看 Ramanigan 的数学。有些他们认得, 有些他们几乎难以相信, 如:

∫(0,∞){[1+(x/b)^2][1+(x/(b+1))^2]…}/{[1+(x/a)^2][1+(x/(a+1))^2]…}dx = √π/2Γ(a+1/2)Γ(b+1)Γ(b+a+1/2)/[Γ(a)Γ(b+1/2)Γ(b-a+1)] 。

1 + 9(1/3)^4 + 17[1·5/(4·8)]^4 + 25[1·5·9/(4·8·12)]^4 + … = 2^(3/2)/{√π[Γ(3/4)]^2} 。

1 - 5(1/2)^3 + 9[1·3/(2·4)]^3 - 27[1·3·5/(2·4·6)]^3 + … = 2/π 。

他们越看越觉得这个印度数字家很神奇。在半夜之前他们得到结论: 他们是在欣赏一位数学奇才的作品。

Ramanujan 在当时的剑桥数学圈内造成轰动, Hardy 给好多人看 Ramanujan 写的定理还抄一些给专家看。

Bartrand Russel (罗素) 给他的女友 Lady Ottoline Marrel 的信 (2/2, 1913) 中有这么一句:

“在餐厅里我发现 Hardy 与 Littlewood 狂喜不已, 因为他们认为他们发现了第二个牛顿: 一个年薪 20 磅的印度职员。”

同时 Hardy 活动起来, 他给驻伦敦的印度机构反应他对 Ramanujan 有兴趣, 希望 Ramanujan 能来剑桥。

1913 年 2 月 8 日 Hardy 回信给 Ramanujan:

对您的信与定理至感兴趣。不过在我能适当地判断您作出的价值之前, 我需要知道您的某些定理的证明。您的成果大略可分为三类:

(1)有些结果是已知的, 或可从已知定理推出来;

(2)就我所知有些结果是新颖而有趣的, 有趣是由于它的难度与新奇而非重要性。

(3)有些结果看来新颖、重要, 不过这个要看您使用的适当的严密证明。

您说您缺乏数学上的训练, 但是事实上您重新发现了这么多有趣的结果是非常了不起的 …… 我希望您能够尽快寄一些您的证明给我 ……

Hardy 的信在 2 月底到达以前, Madras 印度学生顾问团秘书 Arthur Davis 已经得到英国来的消息说, Hardy 希望 Ramanujan 到 Cambridge 去。

Arthur Davis 召见 Ramanujan 传达 Hardy 的意思, 不过 Hardy 很快得到消息说 Ramanujan 不想去英国。阻碍来自宗教与文化上, 印度人对渡海有禁忌。

Gilbert Walker 当年 45 岁, 是 Simla 地方的印度气象分局局长, 他得过 Senior Wranger, 在三一学院教过书, 新近成为皇家学院院士 (F.R.S.)。他在 2 月 25 日路过 Madras 时 Sir Francis 给他看 Ramanujan 的笔记本。第二天 Walker 写信给 Madras 大学, 推荐 Ramanujan 为该大学的研究生。Walker 念的是应用数学, 而当时从事的是气象学, 对纯数学不熟悉, 但有 Hardy 的背书, 他便写了 Ramanujan 的推荐信。由于他的信函, Madras 大学数学会议上大家决定向行政当局建议给 Ramanujan 一个月 75 rupee 的研究奖学金。这个奖学金是发给有硕士学位的, 而 Ramanujan 连学士学位都没有, 因此这个建议一度遭到反对, 经过讨论后还是被采用了。

由于 Hardy 的赞许, Ramanujan 从十来年动弹不得变成什么都顺畅起来。

2 月27 日 Ramanujan 又写信给 Hardy, 附加上许多定理。他说:“我发现您是我的朋友,用同情的眼光看我这些年来的成果。在我目前的情况, 我很需要像您这样有名的学者认定我的作品有一些价值, 我写出来的结果可证实是对的, 虽然我的根基薄弱。我是一个半饥饿的人, 我的优先考虑是: 为了保持我的脑力, 我需要食物。您充满同情的信可帮助我获得大学或政府的奖学金。”

4 月12 日 Ramanujan 得到 Madras 大学要发给他研究奖学金这个消息。奖学金可让 Ramanujan 研究数学, 听大学的课程并使用大学图书馆。他的义务是每三个月交出一篇研究报告。

Ramanujan 就租屋在离 Presidency College 一个半哩处, 跟外婆、妈妈、妻子 Janaki (当年 14 岁) 住在一起, 但 Janaki 被规定要跟婆婆或外婆一起睡。三个女人服侍 Ramanujan。他经常在清静、凉爽的半夜起来念书。为了不间断他的思路, 食物有时候是递给他吃的。

这期间 Ramanujan 与 Hardy 在捉迷藏。Hardy 在英国闯出一个改革: 数学定理要有严密的证明。他要求 Ramanujan 给他定理的证明。而 Ramanujan 一直在避开它。事实上他给不出来。Carr 的 “Symposis” 里面定理都是轻描淡写地带过的, Ramanujan 一向学的是这一套。

不过研究 Ramanujan 的专家美国数学家 Bruce Bezndt 说, 有时候让自己逃脱“严密”的锁链, 在自由的想象中反而会发现通过一座森林的路程。

研究生的日子让 Ramanujan 过的很写意。

Hardy 有一阵子没来信后, 1914 年元月初写来一封信, 在一番批评与安慰之后 Hardy 告诉 Ramanujan, 三一学院有一位研究员 E. H. Neville 将在 Madras 的大学演讲微分几何学, 找机会跟 Neville 接触, 听听他有关读书与研究的劝告, 会很有用处的。

其实 Neville 是 Hardy 的一着棋子, 想劝说 Ramanujan 去英国。

元月里 Neville 到达 Madras, Ramanujan 跟他见了面, 觉得他满可亲近的, 也就借给他自己那宝贵的笔记本三天。

早 Ramanujan 20 几年的甘地为了赴英读书被他的族长从他阶级里放逐过。在南印度, Ramanujan 那时候出国还是一种禁忌, 出国者不但会被他的阶级放逐, 亲友们也不再跟他往来。

但是 Neville 与 Ramanujan 见面时发现 Ramanujan 要赴英的反对力量已经缓和下来。原来 Ramanujan 的母亲梦见 Ramanujan 在一群欧洲人士中, 而女神 Namagiri 告诫她不要妨害 Ramanujan 完成他的终身事业。

于是 Ramanujan 与朋友 Narayana Iyer 出发到奉祀女神 Namagiri 的神庙, 晚上在神庙的地板上睡了三夜。第三夜 Ramanujan 叫醒 Narayana Iyer, 说在闪电般亮光中他受到指示, 要横越出国的障碍。

回到 Madras 后 Ramanujan 见 Neville, 说他愿意赴英, 让 Neville 吃了一惊。在记录上 1913 年 2 月 Ramanujan 拒绝了印度当局要他赴英的建议。而在 1914 年 1 月 22 日Ramanujan 写信给 Hardy, 要劳烦他与 Littlewood 帮助他能在近月赴英。

Neville 给 Ramanujan 解决有关钱、英文、考试、学位、素食等问题。事实上 Neville 还是赶紧在 Madras 方面找钱的来路, 并给 Hardy 写信说万一印度方面要不到钱, 得想法子在英国要到, 不能为钱的问题阻止 Ramanujan 赴英。

Neville 告诉那些充满疑惑的印度人士说, Ramanujan 赴英不仅对他个人有好处, 如果他成为数学史上有名的人物, 那么 Madras 市与大学会因曾经在经济上帮助他一臂之力而光荣、骄傲。

于是 Madras 大学同意一年给 Ramanujan 250 磅奖学金加上治装费与旅费 100 磅。

Janaki 私下表示她想跟 Ramanujan 走, 但 Ramanujan 以她还年少, 会让他分心等劝阻她。

(未完待续)

参考文献

Robert Kanigel. “The Man Who Knew Infinity”, Charles Scribner’s Sons, New York, 1991.

Bruce C. Berndt and Rabert A. Rankin, Ramanujan Letters and Commentary”, American Math. Soc. and London Math. Soc., 1995.

G. H. Hardy, “A Mathematician’s Apology”, Combridge University Press, Conte edition, 1992.

“100 人的数学者”, 日本评论社, 1971。
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发表于 2020-4-28 10:00 | 显示全部楼层
不受干扰地从事数学研究该有多好。
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