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浅谈《几何原本》中的比例论

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发表于 2020-4-17 18:56 | 显示全部楼层 |阅读模式
浅谈《几何原本》中的比例论

作者 | 刘瑞祥

众所周知,由于毕达哥拉斯学派发现了“不可公度量”(无理数),所以这个学派的信条——万物皆数——破产了,并且引发了第一次数学危机。这一危机最开始的表现就是,原来以为逻辑上完备的证明(比如说等高三角形的面积比等于底的比)变得不完备了。古希腊数学家欧多克斯建立了新的比例论,一方面挽救了古希腊数学,另一方面造成了古希腊重几何轻算术的倾向。直到现代实数理论建立以后,才彻底解决了无理数的问题。《几何原本》吸收了欧多克斯比例论的内容,并将其完善成一个得力的工具,下面简单谈谈比例论在《几何原本》中的作用。

一、关于比例的定义

1、第五卷定义5:有四个量,第一量比第二量与第三量比第四量叫做相同比,如果对第一与第三个量取任何同倍数,又对第二与第四个量取任何同倍数,而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系,那么第三与第四倍量之间便有相应的关系。

(这就是欧多克斯所给出的比例定义,用现代话来说就是:设 a、b 是同类的两个量,c、d 也是同类的两个量,对任何的整数 m 与 n,若三个关系式 ma>nb 或 ma=nb 或 ma<nb 之一成立时,必有 mc>nd 或 mc=nd 或 mc<nd 中对应的那个成立,则说 a 比 b 与 c 比 d 有相同的比。即四个量成比例,称为 a 比 b 如同 c 比 d 。)

2、第七卷定义20:当第一数是第二数的某倍、某一部分或某几部分,与第三数是第四的同一倍、同一部分或相同的几部分,称这四个数是成比例的。

(例如有四个数 8、4、6、3 ,其中 8 是 4 的二倍,6 是 3 的二倍,则这四个数成比例,记作 8/4=6/3 , 或 8:4=6:3 ;又有四个数 2、6、3、9 ,其中2是6的三分之一,3 是 9 的三分之一,记作 2/6=3/9 ,或 2:6=3:9 ;又设四个数 4、6、20、30 ,4 是 6 的三分之二,20 是 30 的三分之二,记作 4/6=20/30 ,或 4:6=20:30 。)

以上两个定义在正整数的范围内是一致的,欧几里得在第十卷证明了这一点:

第十卷命题5:两个可公度量的比如同一个数比一个数。

第十卷命题6:若两个量的比如同一个数比一个数,则这两个量将是可公度的。

在第五卷里《原本》给出了更比、反比、合比、分比、首末比、二次比、三次比等定义,然后分别证明了这些比例是成立的。

二、比例的作用

比例论在《几何原本》里主要有四方面的作用,下面分别举例说明:

1、实现等式的恒等变形

主要依据如下:

第五卷命题4:如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比,取第一量与第三量的任意同倍量,又取第二量与第四量的任意同倍量,则按顺序它们仍有相同的比。

第五卷命题5:如果第一量是第二量倍量,而且第一个量减去的部分是第二个部分减去的部分的倍量,其倍数相等。则剩余部分是剩余部分的倍量,整体是整体的倍量,其倍数相等。

第五卷命题6:如果两个量是另外两个量的同倍量,而且由前二量中减去后两个量的任何同倍量,则剩余的两个量或者与后两个量相等,或者是它们的同倍量。

第五卷命题12:如果有任意多个量成比例,则其中一个前项比相应的后项如同所有前项的和比所有后项的和。

第五卷命题16:如果四个量成比例,则它们的更比例也成立。

第五卷命题17:如果几个量成合比例,则它们也成分比例。

第五卷命题18:如果几个量成分比例,则它们也成合比例。

第五卷命题19:如果整体比整体如同减去的部分比减去的部分,则剩余部分比剩余部分如同整体比整体。

第五卷命题22:如果有任意多个量,又有个数与它们相同的一些量,各组每取两个相应的量都有相同的比,则它们成首末比例。

第五卷命题23:如果有三个量,又有个数与它们个数相同的三个量,在各组每取两个相应的量都有相同的比,它们组成波动比例,则它们也成首末比例。

第五卷命题24:如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比,且第五量比第二量与第六量有相同的比。则第一量与第五量的和比第二量,第三量与第四量的和比第四量有相同的比。

我们以下面的命题作为代表:

第七卷命题9:如果一个数是另一个数的一部分,而另一个数是另一个数的同样的一部分,则取更比后,无论第一个是第三个的怎样的几部分或一部分,那么第二个也是第四个同样的几部分或一部分。

2、利用比的传递性得到新的等式

利用到比例的命题,大多数用到了这种方法,具体依据如下,特别是下面的第三个命题:

第五卷命题7:相等的量比同一个量,其比相同;同一个量比相等的量,其比相同。

第五卷命题9:几个量与同一个量的比相同,则这些量彼此相等;且同一个量与几个量的比相同,则这些量相等。

第五卷命题11:凡与同一个比相同的比,它们也彼此相同。

下面的命题明显用到了比的传递性:

第六卷命题21:与同一直线形相似的图形,它们彼此也相似。

第十一卷命题17:如果两直线被平行平面所截,则截得的线段有相同的比。

3、实现“线”和“面”的量的关系的转化

第六卷命题1:等高的三角形或平行四边形,它们彼此相比如同它们的底的比。

第六卷命题2:如果一条直线平行于三角形的一边,则它截三角形的两边成比例线段;又,如果三角形的两边被截成比例线段,则截点的连线平行于三角形的另一边。

第六卷命题14:在相等且等角的平行四边形中,夹等角的边成互逆比例;在等角平行四边形中,若夹等角的边成互反比例,则它们相等。

第六卷命题16:如果四条线段成比例,则两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形;并且如果两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形,则四条线段成比例。

第六卷命题19:相似三角形互比如同其对应边的二次比。

第六卷命题23:角各相等的平行四边形相比如同它们边的比的复比。

4、为穷竭法提供支持

穷竭法的理论依据是:给出两个不相等的量,若从较大的量中减去一个大于它的一半的量,再从所得的余量中减去大于这个余量一半的量,并且连续这样进行下去,则必得一个余量小于较小的量。

穷竭法是《原本》中重要的理论支柱,但这里提到“从较大的量中减去一个大于它的一半的量”,怎么保证所减去的量比大量的一半还大呢?就需要以下的命题:

第五卷命题8:有不相等的二量与同一量相比,较大的量比这个量大于较小的量比这个量,反之,这个量比较小的量大于这个量比较小的量。

当然,比例论在《原本》里还用来证明不等量的关系和体积问题,不过这和前面所讲的应用类似,就不专门说了。
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