|
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-3-21 17:14 编辑
蔡家雄勾股数公式1
设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数,
若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子,
则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。
由公式1,等式两边同时除以4,得
蔡家雄勾股数公式2
设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数,
若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子,
则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。
等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程
等差勾股方程
若 2n -1 与 k 互素,
且 a 与 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 互素,
则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子,
则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。
求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式
设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,
求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解,
设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,
设 R1=xi, R2=yi, R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列
设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,
则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2
是 两直角边相差p 的本原勾股数。
等和勾股方程
设 2n -1 与 k 互素,
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b= p=|(2n -1)^2 - 2*k^2|,
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
特例:
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 为素数或素数幂,
则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。
特殊勾股方程
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )
的 本原勾股数,你能找到吗?
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )
的 本原勾股数 是 存在的。
a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2
a, b 互质,且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.
勾股弦方程
若(a, b, c)为本原勾股数,
且 a+b= c+2n ,
若 2n 有 t个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
特例:
若 2n=2^k ,
则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。
若(a, b, c)为本原勾股数,
且 a+b= c+2020 ,
由 2020 有 3个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。
1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )
2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )
3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )
4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )
|
|