修改后的勾股数组通解公式

朱明君

wlc1

朱火华先生提倡：勾股不分、a,b 不分，自打嘴巴！

—— 明君好昏美名扬，股作勾时勾是股。

朱火华：华而不实，朱明君：昏而不明，

wlc1

一道小题，朱火华先生会做吗？

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？

求不出：朱火华先生——丢人现眼！！

人们早已知道公共弦勾股数的解法，用xxxxx2050 的口气：我干嘛要把解法告诉你，

就算你找到了公共弦勾股数的解法，别以为自己在数学上发现了一个新大陆。

朱明君——华而不实、昏而不明，

任在深

不懂结构数学的瞎蒙！
一塌糊涂！！！！？、

蔡家雄

wlc1 发表于 2020-2-24 21:45朱火华先生提倡：勾股不分、a,b 不分，自打嘴巴！

朱火华先生提倡：勾股不分、a,b 不分，

他终于认识到他的错误了，哈，哈哈，，

蔡家雄

蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1，等式两边同时除以4，得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。


等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程

等差勾股方程

若 2n -1 与 k 互素，

且 a 与 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。


求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。


等和勾股方程

设 2n -1 与 k 互素，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p=|(2n -1)^2 - 2*k^2|，

若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

蔡家雄

分析：朱火华的奇数为勾全部解公式，

反例：x^2=15^2=25*9,
15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2
15^2+8^2=17^2（15为股，8为勾）

朱明君先生何为勾，何为股都分不清，昏而不明，

蔡家雄

公共弦勾股数的个数公式

它与公共弦c的4x-1 型素数的指数 无关，

均与公共弦c的4x+1型素数的指数 有关，

设公共弦c中有t个4x+1型的素数，

它的指数为r1, r2, ... , rt,

则公共弦勾股数的个数公式为

[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2

定A勾股数解数及定C勾股数解数，200年前的大数学家Euler 早已发现！

蔡家雄

朱明君的点评：a=147, b=196, c=245,  没有公约数，

朱明君