分流：莎草纸上的几何世界

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数的分流：莎草纸上的几何世界

作者 | trustno1v3
来源 | 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/92507715

我们知道，毕达哥拉斯学派对可公度性的执着，实际上是希望在朴素的无穷观念和原子论下，为测量计算和几何抽象架起桥梁。一旦这个假设是成立的，那么意味着希腊人可以用计算板上的所有的测量计算方法，去度量几何体。更重要的是，几何体的抽象性质可以抛开笨重的大理石算板，形成一种存粹靠逻辑推动的高效的计算方法。然而这个设想被证明走不通。

既然融合代数和几何方法走不通，那么剩下的办法只能在两者选其一，到底选择计算和测量，还是选择几何与抽象？在这个十字路口，来自尼罗河的莎草纸将希腊人推上了那条与众不同的抽象之路。

莎草纸是把纸莎草的茎劈成细条，并列排成一层，再在上面垂直地排出另一层；把这两层压实、干燥，就成为柔软坚固的纸草。这种纸草可以用来书写甚至绘画，纸草可以做成长页，卷起来存放，也就是卷轴，也可以像今天的图书一样，沿一边装订成册。比起昂贵的羊皮来说，纸草是实用便宜的书写载体。所以自古埃及人发明以来，纸草在古代地中海世界和周边地区就一直得到沿用，直到公元 8 世纪以后才逐渐被来自中国的纸取代。



19 世纪末，在埃及的俄克喜林库斯（Oxyrhynchus）陆续发掘出了 5000 多份纸草残片，主要制作于古罗马帝国时期。虽然其中大部分是税单、账簿、契约、书信、星宫图之类琐碎的生活记录，但也有不少珍贵文献。

人们在俄克喜林库斯纸草中发现了欧几里得《几何原本》残篇(如上图)、亚里士多德（或其弟子）早已佚亡的《雅典政制》、古希腊戏剧家米南德同样早已佚亡的剧作《恨世者》的大部、记载了珍贵史料的《俄克喜林库斯希腊志》以及《新旧约全书》残篇和基督教次经等重要资料。

俄克喜林库斯的发现向我们证明，古希腊数学家的主要工作载体就是埃及莎草纸。莎草纸柔软的特性也有利于数学家在上面进行几何作图进行运算和推演，更使得古希腊的哲学家群体可以大量的记录他们的思维结果，使得他们之间的学术成果可以进行快速有效的交流。可以说莎草纸是希腊人走向抽象化的决定性物质条件。

在这样的物质条件下，希腊人果断的放弃了笨重而不精确的计算和测量，而全面转向了以几何为中心的抽象数学研究。在希腊数学家看来，几何的研究显然是比计算和测量更加高级的数学活动，因为计算板上的计算和测量不能完全表达莎草纸上演算出来的几何量，而反过来莎草纸上演算的几何量却即可以替代计算板上的计算和测量。

对于几何量不可公度的问题，柏拉图首先从认识论上进行根本的补救。他认为我们无法认可测量出来的斜边长度是确凿无疑的，否则我们将不得不接受毕达哥拉斯学派哪里遇到的荒谬结果。在几何学中，计算和测量是不可靠的。我们眼中看到的那条线段，只是客观世界对无理数的近似。简而言之，无理数与其形象显然是分离的。那么进一步思考，整数本身与计数对象也应该是分离的。于是由计算和测量活动所得到的结果，都是人的幻觉。数学上的否定只能通过存粹的逻辑推演，任何客观数据与数学理念不一致的地方，都不会对数学构成任何有效反驳。柏拉图的哲学观为希腊数学家提供了一个想象中的庇护所，把现实计算和测量的诘难抵挡在逻辑大厦之外，数学家们就可以任意自洽地摆布数学概念。

希腊数学家将现代的实数分成，三类，数，比例，不可公度量。也就是说，希腊人的数只包含特定的部分整数，不但不包括无理数，甚至不包括分数。希腊人没有分数概念，原因在于他们甚至认为“一”也不是一个数。数学史学家 Jacob Kelin 认为，在希腊人的观念中，“一”是数的本原，是构成数的单元，是用于计数的尺度，它本身绝不能被视为一个数。希腊人认为，“一”是每一个事物的独特属性，即每个物都可以被称为“一个”，不同事物总能因为这个属性而被归入同一类，从而能用相同的单元来对它们计数。对于希腊人而言，一个老年人，一和人，老年，一样都是这个事物的属性。因为他归属于人，所以他可以归入人的一类，因为他老所以也可以归入老年一类，因为他是一，所以他可以归入 1 这一类。这是与古希腊人研究自然史那样的分类方式是相适应的。亚里士多德认为，需要为每一个物寻找所属的恰当类型，这是是希腊人理解整个宇宙的基本方式。

这个传统在《原本》的第 VII 卷的对数的定义中非常直接的写了出来。

定义 1. 每一个事物都作为一个单位而存在，并称之为 1.

Definition 1[1] A unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one.

定义 2. 一个数是由许多单位合成的.

Definition 2[2] A number is a multitude composed of units.

按照这两个定义，数和单位是分别两种不同的东西。欧几里得的数不但没有 0，也没有 1，他的数是从 2 开始的。单位 1（Unit）不可分割，本质上还是在逃避毕达哥拉斯派对无穷小的恐惧。在欧几里得这里，Unit 实际上对应于，他第一卷对点没有大小，线没有粗细，面没有厚度的基本几何定义。如果他们承认 Unit 可以分割的话，那么点是不是可以进行再分割呢？毕竟根据定义，点也是一个单位。如果点是可以被分割的，那么他引以为豪的几何体系的基础，就会遭致毁灭性打击。

一旦承认 unit 不可分割，那么分数自然就不会存在。《原本》中的比也不能等同于分数，比是两个同类量的关系而非运算，《原本》中，比和比例从不脱离确定的图形，不会在没有具体图形的语境下把两个比复合在一起，抛开图形去考察比的复合的做法在原本中是不存在的。

最后，希腊人将不可共度的量也单独分离开来。他们认为，可以被同一个量量尽的量叫做可共度量，不可被量尽的量叫做不可公度。在希腊人的观念中，可公度实际上等同于用圆规进行作图。《原本》的第一卷的前三个复杂命题正是为此而准备的。这三个命题是，利用两个圆构建等边三角形，第二个命题，利用等边三角形，在已知线段外的一点上作已知线段的等长的线段，第三个命题，如果有两条不等长的线段，在一条较长的线段上截取较短线段等长的部分。这三个作图题，实际上就是仅仅使用直尺和圆规将一个较短的线段搬运到一条较长线段的端点上，一旦完成这一步，那么就可以利用圆规逐次的去量较长的线段。



也就是说，是否可共度，对于希腊人而言是以几何作图为准绳的。可以被圆规作图量尽的两个线段叫做长度可共度线段。在这里，数和可共度量也不是一个东西，数和可共度量只存在比例上等同的比例关系，而不能称之为相同的数。

古希腊数学家为了修正，毕达哥拉斯派的漏洞，拯救他们的数学成果。他们开始为数，可共度量，不可共度量建立统一的比例关系。这是《几何原本》第五卷所做的主要工作，

定义一： 设 a 与 b 为两个同类的几何量（例如线段长或面积或体积）。如果存在自然数 m 与 n（包括 1），使得 ma＞b 且
nb＞a 则称此两量的比值 a/b 存在（或记成 a:b ）。

定义一是说：两个有限的几何量，不论可共度或不可共度，就可谈论比值。这是因为欧几里得和毕达哥拉斯一样，无法处理无穷小量。于是只能采用这个定义排除掉无穷大与无穷小的量，只讨论有限量。

定义二： 设 a,b,c,d 为四个有限量。如果对于任何自然数 m 与 n 恒有：
                                                   
则称 a/b=c/d 。

事实上，(1)式中任何一式都可用来判别 a/b=c/d 。以下第二式对应的是可共度的情形。

为了看出这条定义的含义所在，我们不妨作一个小小的形式变换，将 mA＞nB 换成 n/m＜A/B ，将 mC＞nD 换成 n/m＜C/D ，依此类推。如此一来， 这条定义可进一步表述为：对 A,B,C,D 四个量，及任意正整数 m 和 n ，如果 n/m＜A/B 意味着 n/m＜C/D ，n/m=A/B 意味着 n/m=C/D ，n/m＞A/B 意味着 n/m＞C/D ，则表明 A/B=C/D 。

上述定义意味着 A/B=C/D 是通过两者与任意有理数具有相同的大小关系来定义的——或者反过来说，可以通过跟全体整数比例之间的大小关系来定义 (唯一的) 比例。

有不少数学史学家认为，这个命题与现代数学中的戴德金分割(Dedekind cut)非常类似
                                                   
戴德金，将实数集的分割 (L,R) 等同为实数 A 。《原本》中译本译者梁宗巨认为，由于希腊数学家对数系的概念还非常模糊，欧几里得也是这样，他们无法将几何量转化为数，他建立了两个理论，第 V 卷关于量的比例理论和第 VII 卷关于数的比例理论,在第 X 卷再将他们关联起来，造成了不必要的繁琐。如果他们可以统一这两者，卷 V 的定义 5 就会形成与戴德金分割等价的命题，实数理论也可以较早的出现。在这些数学史学家看来，欧几里得距离实数系统只有一步之遥，只需要捅穿数和几何量的那层窗户纸，欧几里得就进入了现代数学。

我认为这种观点有合理的成分，但是也是辉格式地过度解读古人意向。数和几何量之间只有一层“窗户纸”，这种看法只是我们现代人的想象。因为这种认识是建立在现代数学认识之上的，现代数学的实数理论为我们扫清了认识的道路，于是我们认为数和几何量是没有任何区别的。然而对于古希腊数学而言，如果他们无法破除无穷小的逻辑困境，那么他们的单位(Unit)的分割问题就无法解决，他们就无法将比例转化成真正独立的可以参与运算的分数和有理数，没有分数也就无法构造出像极限，无穷级数这些具有“潜无穷”能力的数学工具去探讨实数的内在精细结构。于是他们只能另辟蹊径，通过操纵整个直线的全体点集合这样一个宏观结构来规避掉对无穷小量的讨论。换一句话说，他们是将直线上的所有点的集合，当作一个"实无穷"的实体来处理。这与希腊人的几何直观是完全符合的。比如说正方形对角线如果是一个无理数，那么用整数去度量必然需要陷入无穷，然而从几何作图来看，我们可以很容易通过有限步骤的将这个线段这个无穷点集的全体集合一分为 2。

从现代数学的观点来看，完整的实数理论，实际上是由几组等价的命题来完整描述的。这其中既有“潜无穷”的工具，比如柯西收敛原理，单调有界原理。也有“实无穷”的工具，比如戴德金分割，最小上界原理。虽然这些命题都是互相等价的，但数学的认知形成过程并不如这些命题的等价性一样，可以随意无缝的越迁。每一个独立的命题后面，实际上都对应着一场持续数百年的数学范式变革，柯西收敛原理背后实际上是微积分从牛顿到柯西上百年的变革过程，戴德金分割背后实际上是数理逻辑公里集合论完善的结果。对于公元前的希腊数学家而言，他们对“实无穷”的操纵实际上只是一种盲人摸象，就算他们摸全了一只大象的耳朵，他们也只会认为这只大象只不过是一个大扇子。真正要完整的了解这头大象，需要数学家们完善潜无穷和实无穷所有的工具之后，才能对实数作解剖学式的分析。

参考资料
[1]Definition 1: https://mathcs.clarku.edu/~djoyc ... ookVII/defVII1.html
[2]Definition 2: https://mathcs.clarku.edu/~djoyc ... ookVII/defVII1.html