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楼主: 费尔马1

此发牌游戏之解难于上青天

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 楼主| 发表于 2020-1-20 19:37 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2020-1-20 19:01
判断:359999不是素数,也不是特定的合数,所以a^2+(a+359999)^2=c^2 不是 本原勾股方程。

因为:359999 ...

好!老师太棒了!谢谢老师指点!
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发表于 2020-1-20 19:49 | 显示全部楼层
因为:359999=599*601=(2*18^2 -7^2) * (2*19^2 -11^2)

所以:a^2+(a+359999)^2=c^2 是 本原勾股方程。

1-----87360^2+(87360+359999)^2 = 455809^2

2-----94941^2+(94941+359999)^2 = 464741^2

3-----722904^2+(722904+359999)^2 = 1302025^2

4-----744597^2+(744597+359999)^2 = 1332125^2

——  这是最小的几组解。

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 楼主| 发表于 2020-1-20 20:12 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2020-1-20 19:49
因为:359999=599*601=(2*18^2 -7^2) * (2*19^2 -11^2)

所以:a^2+(a+359999)^2=c^2 是 本原勾股方程。
...

蔡老师的这种类型的勾股方程很有趣,别具一格,就像百花园里的一朵艳丽的奇花,这绝对是数学之路上的又一个里程碑!称为“蔡氏勾股方程”,学生我学习之后,非常赞叹数学理论的高深及无限,同时也非常钦佩蔡老师对知识的刻苦研究勇于探索的精神,赞赏老师的毅力与执着。非常感谢老师指导!
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 楼主| 发表于 2020-1-21 03:58 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2020-1-20 16:00
例如:5^2+(5+7)^2=13^2,这是数字等式,不是代数公式,

非常感谢 程老师!正是与你的交流,

因为7=2*2^2-1^2,17=2*3^2-1^2,23=2*4^2-3^2,……
所以,A^2+(A+7)^2=C^2 是本原勾股数方程。
根据勾股数的总公式 进行变换可得:
a^2+(a+p)^2 =c^2 有 本原勾股数的解,
①a为奇数时,p=(1/2)*k^2 - (2n -1) 是素数,k为偶数,n为正整数;
②a为偶数时,p=(2k -1)-(1/2)*n^2  是素数,n为偶数,k为正整数。
这与您的p=2k^2 - (2n -1)^2是一致的。
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 楼主| 发表于 2020-1-21 04:12 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2020-1-20 22:42
求 A^2+(A+7)^2=C^2 的本原勾股数通项公式

设 Pn=1, 0, 1, 2,  5, 12,  29,  70, 169, ...

老师的这个通项公式太棒了!以此类推,每个符合条件的p都存在一个通项公式。
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发表于 2020-1-21 08:23 | 显示全部楼层
程老师:您好!
      过几天我就回家过年了,我在家里是没有电脑的,
在此,我提前祝程老师新年进步,平安健康快乐!

我已作了完善:Pn第1项是 -2,Qn第1项是 -1

求 A^2+(A+7)^2=C^2 的本原勾股数通项公式

设 Pn= -2,1, 0, 1, 2,  5, 12,  29,  70, 169, ...

设 Qn= -1,1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, ...

及 Pn 与 Qn 的下标相应自增1,

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 楼主| 发表于 2020-1-21 08:34 | 显示全部楼层
蔡氏勾股方程:
a^2+(a+p)^2 = c^2 是本原勾股方程,这个方程包括了所有的本原勾股数。
因为素数无限多,符合以下条件的p也是无限多的:
 p的素因子均为 2*n^2 - (2k -1)^2 的素数,且 a与p 互素,
或 p的素因子均为 (2n+1)^2 - 2*k^2 的素数,且 a与p 互素,
勾股数的两条直角边总是存在一个差值,这个差值一定是p,其中,p=1,或者p是符合以上条件的素数或合数。
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发表于 2020-1-21 08:50 | 显示全部楼层
1= 3^2 - 2*2^2

1= 2*5^2 - 7^2

1= 17^2 - 2*12^2

1= 2*29^2 - 41^2
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 楼主| 发表于 2020-1-21 10:24 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2020-1-21 08:23
程老师:您好!
      过几天我就回家过年了,我在家里是没有电脑的,
在此,我提前祝程老师新年进步,平 ...

祝蔡老师及家人新年快乐!身体安康,万事如意!
请教老师:
 求A^2+(A+7)^2=C^2 的本原勾股数通项公式
设 Pn= -2,1, 0, 1, 2,  5, 12,  29,  70, 169, ...
设 Qn= -1,1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, ...
我不明白Pn=-2  1  0  1…这个通项是怎么向前进展的?(也就是说,第一项-2是怎么确定的,紧接着已知上一项怎么求下一项?)
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发表于 2020-1-21 12:53 | 显示全部楼层
请教 程老师:

能求出所有本原勾股数的公式,

总是出现:且互质,

如下这个没有出现:且互质,能求出所有的本原勾股数 吗?

本原勾股数新公式

设 n为正整数,k为非负整数,

设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)
    b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)
    c= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)+2^(2k+1)

则 a^2+b^2 =c^2

当 k=0 时,有 a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1.

当 k=1 时,有 a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4.

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