设非零的实系数多项式 f(x) 满足 f(f(x))=[f(x)]^k ，其中 k 是给定的正整数，求 f(x)

wilsony

谁能完整解决？

luyuanhong

题  设非零的实系数多项式 f(x) 满足 f(f(x))=[f(x)]^k ，其中 k 是给定的正整数，求 f(x) 。

解  如果 f(x) 恒等于一个非零的常数，有 f(x)=C（C≠0），则有

    C=f(f(x))=[f(x)]^k=C^k ，C^(k-1)=1 。

    如果 k 是一个正偶数，这时 k-1 是一个奇数，则必有 C=1 。

    如果 k 是一个正奇数，这时 k-1 是一个偶数，则有 C=1 或 C=-1 。

    如果 f(x)=y 不恒等于常数，y 在一个区间中连续变化，则有

       f(y)=f(f(x))=[f(x)]^k=y^k 。

    对在一个区间中连续变化的 y 处处有 f(y)=y^k ，这样的多项式只能是 f(x)=x^k 。

    所以，本题的解答是：

    当 k 是正偶数时，多项式 f(x)=1 或 f(x)=x^k ；

    当 k 是正奇数时，多项式 f(x)=1 或 f(x)=-1 或 f(x)=x^k 。

wilsony

多谢陆老师！