用降幂法构造等幂和

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[这个贴子最后由cwl在 2008/03/22 01:07pm 第 3 次编辑]

                    用降幂法构造等幂
                    陈文龙(cwl1959)
x(1,1)+x(1,2)+…+x(1,s)=x(2,1)+x(2,2)+…+x(2,s)
x(1,1)^2+x(1,2)^2+…+x(1,s)^2=x(2,1)^2+x(2,2)^2+…+x(2,s)^2
… … … …
x(1,1)^k+x(1,2)^k+…+x(1,s)^k=x(2,1)^k+x(2,2)^k+…+x(2,s)^k

cwl

[这个贴子最后由cwl在 2008/03/17 07:39pm 第 2 次编辑]

大部分等幂和式子有这样的现象
x(1,1)+x(1,s)=x(1,2)+x(1,s-1)=…=x(2,1)+x(2,s)=x(2,2)+x(2,s-1)=… =N
或
x(1,1)+x(2,s)=x(1,2)+x(2,s-1)=… =N
则我们可以进行降幂

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[这个贴子最后由cwl在 2008/03/18 07:09am 第 1 次编辑]

引理1 (偶次等幂和）　设存在
a1+a2+…+as=0
a1^3+a2^3+…+as^3=0
……  ……                                                                 ①
a1^(2*t－1)+a2^(2*t－1)+…+as^(2*t－1)=0
(其中t=1,2,…)
令 x(1,i)=N+ai,x(2,i)=N-ai
(其中N≥ai的自然数）
则
x(1,1)+x(1,2)+…+x(1,s)=x(2,1)+x(2,2)+…+x(2,s)
x(1,1)^2+x(1,2)^2+…+x(1,s)^2=x(2,1)^2+x(2,2)^2+…+x(2,s)^2
……  ……                                                                  ②
x(1,1)^(2＊t)+x(1,2)^(2＊t)+…+x(1,s)^(2＊t)=x(2,1)^(2＊t)+x(2,2)^(2＊t)+…+x(2,s)^(2＊t)

cwl

LBSALE[1000]LBSALE[这个贴子最后由cwl在 2008/03/18 07:20am 第 2 次编辑]

证明    将②式展开,并将①式代入,得证.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

汽车无轮

算你狠老师,原来证明这么容易,听君一席话胜读十年书

cwl

引理2 (偶次等幂和）　设存在
a1^2+a2^2+…+as^2=b1^2+b2^2+…+bs^2
a1^4+a2^4+…+as^4=b1^4+b2^4+…+bs^4
……  ……                                                       ③        
a1^(2*t)+a2^(2*t)+…+as^(2*t)=b1^(2*t)+b2^(2*t)+…+bs^(2*t)
(其中t=1,2,…)
令 x(1,i)=N+ai,x(1,s+i)=N-ai;x(2,i)=N+bi,x(2,s+i)=N-bi
(其中自然数 N≥ai,N≥bi）
则
x(1,1)+x(1,2)+…+x(1,2*s)=x(2,1)+x(2,2)+…+x(2,2*s)
x(1,1)^2+x(1,2)^2+…+x(1,2*s)^2=x(2,1)^2+x(2,2)^2+…+x(2,2*s)^2
……  ……                                          ④                     
x(1,1)^(2＊t+1)+x(1,2)^(2＊t+1)+…+x(1,s)^(2＊t+1)=x(2,1)^(2＊t+1)+x(2,2)^(2＊t+1)+…+x(2,s)^(2＊t+1)

cwl

LBSALE[1000]LBSALE[这个贴子最后由cwl在 2008/03/18 01:59pm 第 2 次编辑]

证明    将④式展开,并将③式代入,得证.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

汽车无轮

老师这一道的证明我已会了

cwl

汽车无轮 同学请你把上面证明给予表达出来,谢谢

cwl

[这个贴子最后由cwl在 2008/03/19 00:42am 第 1 次编辑]

一次等幂和
定理:设存在a^0=b^0   (其中a,b为自然数)
   则  x(1,1)+x(1,2)= x(2,1)+x(2,2)                                    ⑤
证明: 因为a^0=b^0 ,1=1
      所以令x(1,1)=N+a ,x(1,2)=N-a ;x(2,1)=N+b ,x(2,2)=N-b 代入⑤式 ,得
       2*N=2*N
等式成立