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数学大师陈省身接受张奠宙访问时的谈话
访问者(张奠宙)的说明
1991 年我有幸访问位于加州伯克利镇小山巅上的美国国家数学研究所,因而躬逢其盛,得以参加当年十月同行为祝贺数学大师(也是创所所长)陈省身教授 80 华诞所举行的盛宴以及陈教授的答谢宴。随后,很幸运地,又获得了访问陈教授的良机。
陈省身是 20 世纪的数学大师,他在几何学上的贡献是划时代的,影响遍及数学的整体。他所得到的各种荣誉,例如数学上最高的沃尔夫 (Wolf) 奖、中央研究院院士衔、美国全国科学院院士衔、英国皇家学会以及意大利科学院二者的外籍院士衔、许多著名大学的荣誉博士衔等等,可说不胜枚举。但杨振宁以“欧高黎嘉陈”这句诗称颂他,将他与欧几里得、高斯、黎曼和嘉当这几位有史以来最伟大的几何学家相提并论,也许更能凸显他在数学史上的崇高地位。
要了解陈省身,要看清楚这么一位数学界的伟人,也许我们应该先从他那个时代的数学界看起。
1900 年前后,世界数坛由法国与德国争雄。法国数学以庞加莱为代表,研究三体问题、微分方程定性理论、组合拓扑学以及测度理论等,极一时之盛。然而,德国因为大学不集中,发展更为蓬勃。德国的领袖数学家,当推希尔伯特。后起的外尔、诺特、冯·诺伊曼等名家,全方位地研究泛函分析、李群论、数论、曲面几何、抽象代数,数学基础与数学物理等,数学研究充满活力。那时的法国、英国、俄国等也产生了不少数学大家。但领袖地位无疑操在德国,而美国还在向欧洲派留学生学数学的阶段。
20 世纪初年,满清王朝处于风雨飘摇之中,内忧外患,使中国数学大体上只相当于 17 世纪牛顿时代的水平,落后于西方达 200 余年。1911 年辛亥革命之后,中国开始现代数学的征途。由于美国退回庚子赔款的关系,中国的第一个数学博士胡明复,于 1917 年毕业于哈佛大学;次年,中国第一个现代几何学家姜立夫自哈佛大学取得博士学位;1928 年,杨武之和孙光远以数论和几何研究同时从芝加哥大学取得博士学位。因此,美国对中国数学影响深远。30 年代中国留德数学生中,杰出者有曾炯之等。惜曾不久去世,未能在中国发挥作用。
进入 30 年代之后,德国数学由于希特勒法西斯上台而日见式微,大批犹太血统数学名家流向美国。二次大战前后,美国遂成为世界数学中心。不过,30 年代的微分几何学研究,则仍以德、法两国领先。在函数论王国的巴黎,有一个光辉的例外,那就是“超越时代"的嘉当,他的工作当时很少人看得懂,后来却成为几何研究的出发点。在德国,汉堡大学的布拉施克则是几何学的代表人物。
陈省身生于辛亥革命那年,15 岁便到姜立夫主持的南开大学数学系就读,1930 年转到清华大学,其后跟孙光远研修微分几何,尽得国内名师传授。他 1934 年赴德国汉堡,两年后在布拉施克指导下获博士学位;1936-1937 年,又到巴黎接受嘉当的指导。在两位大师熏陶下,他迅即达到微分几何研究的前沿,成果累累。30 年代前后,代数拓扑学兴起。这是研究整体性质的有力工具,对 20 世纪后期的数学发展有决定性影响。当时能注意、理解和运用拓扑学的数学家很少,陈省身是其中杰出的一个。
1943 年,第二次世界大战正酣。陈省身应美国数学界领袖维布伦之邀,到美国普林斯顿高级研究所。此后两年间,他完成了一生中最重要的工作:证明高维的高斯-博内公式,构造了现今普遍使用的陈示性类,为整体微分几何奠定了基础。
陈省身在二次大战后回到中国,主持中央研究院的数学研究所。后来再度赴美,成为美国微分几何学派的领袖人物。本来,分析学一向是数学的主体,微分几何只是微积分在几何上的应用。但爱因斯坦广义相对论和杨(振宁)-米尔斯规范场论的推动,以及整体微分几何的形成,使得微分几何成为当代核心数学发展的主流学科,反过来影响分析学的发展。二次大战以后的数学,从线性数学转到非线性数学,从局部性质研究过渡到整体性质研究,从现实空间发展到研究一般的 维流形。微分几何恰好顺应了这一发展趋势。正因如此,陈省身“由于对整体微分几何学的杰出贡献,而对数学整体产生深远影响”而获得“沃尔夫奖”。(见沃尔夫基金会公告原文:“for oulstanding contributions to global differential geometry, which have profoundly influenced all mathematics...”)
陈省身虽是饮誉世界的大数学家,他的生平却平淡无奇。这儿没有硝烟弥漫的战场,没有引人入胜的侦探故事,没有如火如荼的政治事件,更没有五彩缤纷的感情世界。他所拥有的,只是令人目眩的数学天地。然而,我们可以看到,他选择了最有意义的研究方向,得到了举世最好数学导师的教育,因而能顺应 20 世纪数学中心转移的历史脚步,把握最佳的工作机会。这里当然有“机会”、“幸运"的因素。但我们仔细分析,就会看到一位执着追求理想,才华横溢,有充实人生的数学家和哲人。
陈省身的访问谈话
1991 年 10 月 28 日,张奠宙来到数学研究所三楼陈先生的办公室,对着窗外的金门大桥和旧金山海湾,开始了和这位数学大师的谈话。
格丁根、汉堡和巴黎
张:第二次大战以后的几十年中,微分几何学一直居于数学发展的主流地位,可算是当今的一个“热门”课题。请问您当初为什么选读几何学?
陈:说到“热门”,我倒是从不赶时髦的。我进入几何领域,可说完全由环境决定。我进南开碰到了姜立夫先生,他是研究几何的;毕业后,又遇到孙光远先生,他也是研究几何的,这就决定我走上微分几何的道路。如果单论个人兴趣,我也许更喜欢代数。
张:在 30 年代,微分几何是不是“热门”?
陈:不见得。分析一向是数学的主流。那时德国的格丁根学派有库朗的分析,E.诺特的代数。英国有哈代和李特尔伍德的函数论、解析数论学派,法国的皮卡、勒贝格和蒙泰尔等名家主导的函数论研究仍然强盛,希尔伯特和巴拿赫等倡导的泛函分析相当流行。虽说黎曼几何学得到广义相对论的推动,但毕竟是“阳春白雪”,少人唱和,并非“热门”。
张:二次大战以前的世界数学中心在德国的格丁根,您为何不去格丁根“朝圣”,反而去了汉堡?
陈:我觉得选择工作地点应该以自己的计划为主,至于见大人物,虽可供谈助,但和学问实不相干。当然,有大人物的数学中心,人才集中,气氛和环境与一般地方是不一样的。
我去汉堡,首先是因为布拉施克来华讲学,他讲的内容我都懂(差不多同时,美国的 G.D.伯克霍夫也来讲学,我却听不懂),因而可以进一步讨论。其次,我读过汉堡大学的《学报》上面的论文,引起很大兴趣。所以,我就去了汉堡。
张:那时的格丁根有没有很强的几何学家?
陈:有。如科-福桑;还有赫格洛茨,他是一个很伟大的数学家,搞的方向很广,也研究几何,刚体几何中就有赫格洛茨定理。不过,我还是觉得去汉堡较合适。
张:在汉堡,你获益很多吗?
陈:当然。除布拉施克之外,E.阿廷和赫克都是非常强的数学家。年资较浅的还有 E. 凯勒、H. 彼得森、H. 察森豪斯等,其中凯勒对我帮助很多。
还记得 1934~1935 年间,我的主要精力花在凯勒的讨论班上。讨论的内容以一本著名的小册子《微分方程组引论》为主,那就是后来有名的嘉当-凯勒定理。讨论班的第一天济济一堂,布拉施克、阿廷和赫克等都到场,但以后参加者愈来愈少,我是坚持到最后极少数人中的一个。将凯勒的理论用于网几何,再加上先前的一些结果,就构成了我的博士论文。我做学问,不赶热闹,有自己的想法,只选择最适合自己的工作去做。
张:在 30 年代,许多留学生一旦得了博士,便不再做研究了。您却到大数学家嘉当那里做“博士后”,显示您在事业上雄心勃勃。
陈:我读数学没有什么雄心。我只是想懂得数学。如果一个人的目的是名利,数学不是一条捷径。当时,最好的几何学家是嘉当,但在 30 年代,嘉当的工作很少人理解,被认为“超越时代”。我为嘉当的博学精深倾倒,遂于 1936 年 10 月到巴黎,在那里逗留了 10 个月。
话说回来,做研究实在是吃力而不一定讨好的事,所以学业告一段落便不再继续那是自然现象,中外皆然。在巴黎的庞加莱研究所,有整架的精装博士论文陈列,但大部分作者都已经不知去向了。长期钻研数学是一件辛苦的事。何以有人愿意这样做,有很多原因。对我来说,主要是这种活动给我满足。杨武之先生赠诗予我说“独步遥登百丈台”,实道出一种心境。我平生写了很多文章,甘苦自知,不是一言可尽的。
张:据说嘉当的工作很难懂,但您却把他的思想方法彻底掌握了,这可能是您成功的重要一步。
陈:是的。嘉当的主要工作是两方面:李群和外微分。这是研究微分几何强有力的新工具。要做“最好”的数学不掌握它不行。嘉当老是给我一些他所说的“小"题目,我回去研究,就变成了一篇篇的论文。也许因为我对他的指导总是有反应,他破例准许我到他家里访问,约每两周一次。谈完后第二天,还常会收到他的信,补充前一天的谈话内容。这些交往,使我理解了当时“最好”的几何学。
张:现在,大家都能理解嘉当的思想了吗?
陈:不一定。他的许多工作,即使到今天,也未见得被人普遍接受。我甚至说过,现在的许多微分几何学书籍都写得不好,他们总是从
这样的关系式出发,推演整个微分几何。其实,嘉当的方法还要考虑到联络 , 曲率 这样两重关系。光是从上式出发,得不到许多好结果;倘若用我对嘉当的理解,则可以很容易得到。这一点我曾经提出过,但许多人仍旧不改。这倒也不错,我可以保留一种“秘密武器”,你们做不出的结果,我可以作出来,聊胜一筹。之所以发生这类情形,乃是因为几何是用代数控制的,不同的代数手段,会产生不同的几何结果。
普林斯顿和整体微分几何
张:那么,“整体微分几何“应是您想做的“最好”的数学了。
陈:微分几何学趋向整体是一个自然的趋势。了解了局部的性质以后,自然想知道它们的整体含义,但是意想不到的,则是有整体意义的几何现象。1943 ~ 1945 年间在普林斯顿那一段时期,我对数学的了解更增大了。研究整体几何学需要坚实的经典几何知识基础,要掌握当时刚刚诞生不久的代数拓扑理论,更要将嘉当创立的几何方法加以改造。这样才能别开生面,独树一帜。这样做,很费力,世界上涉足的人也很少,但这正是我追求的目标。
张:您去普林斯顿,是美国数学家维布伦和著名的外尔邀请的。他们希望您研究整体微分几何吗?
陈:没有。做什么研究,完全由自己的意愿决定。我到普林斯顿去,主要是和维布伦的联系。1936 年,当我还在巴黎时,维布伦写信给嘉当,询问有关投影正规坐标的事,这对维布伦学派的"几何路径” (geometry paths) 很重要。他们想发展一个更高级的微分几何理论,突破爱因斯坦理论所考虑的洛仑兹空间的限制,以便做出统一场论。我知道投影正规坐标可以用多种方法定义,但都有缺陷,于是就提出了一种基于嘉当几何方法的定义,寄给维布伦,这给他很深的印象。我在西南联大时,又曾经由维布伦转交我自己和王宪钟的一些论文,因而和他相熟,但从未谋面,他并不知道我对整体微分几何感兴趣。
张:战争年代应邀去普林斯顿,应该是很少见的事。
陈:确实。那时普林斯顿的经费很少,战争又正在进行,请人是很困难的。他们不但对我的研究感兴趣,也因为我是一个中国人。那时,中国人搞科学研究的不多,不会威胁美国人的"饭碗",所以他们也许会优先安排中国人访问。现在看来,我到普林斯顿是很幸运的,我一生“最好”的工作就在那里完成。
张:您去普林斯顿是一种幸运,那么做学问是否也有机遇的问题?例如,选择了一个方向,有时做得出成果,有时却做不出来。
陈:机遇不能说没有,但我想主要是看能力。就像在茫茫荒漠上找寻石油,光凭机遇怎么行?成功主要是靠地质学家的知识积累和科学判断能力。同样,即使有了数学问题,并不见得人人能解决,杰出的数学家就能解决别人做不出的问题。
张:能请您以整休微分几何为例来谈谈好吗?比如,您为什么选择整体微分几何作为研究方向?
陈:数学家要能分别好数学与坏数学,或者不大好的数学。譬如读诗看画,有些伟大的作品,令人百读不厌,投地拜服。数学工作亦是如此:从微分几何走向整体是一个自然的步骤。
但要能走这一步,必须作好工具的准备。我很早就注意代数拓扑的作用,1932 年布拉施克在北京作题为“微分几何中的拓扑学问题”的演讲,实际上仍是讲局部微分几何。1933-1934 年 E.施佩纳来华讲学,严格证明若尔当曲线将平面分为两部分的拓扑定理。我也听过江泽涵的一门拓扑课,但我当时觉得并未进入拓扑学之门。直至亚历山德罗夫和霍普夫合著的《拓扑学》出版,情况才有变化。代数拓扑是很重要的一门数学,我对它兴味很浓。
张:那么,您又为什么选择高斯-博内公式作为研究的突破口呢?
二维高斯-博内公式
曲面上由有限个曲线弧相连而成的简单闭曲线 C,围成区域 D,各弧线外角为 αi(i=1,2,…,m),则
ρ 为 c 的曲率,K 是高斯曲率。它的特例是三角形的三个外角之和为 2π 。
陈:我在西南联大教书时就对这一课题有不同平常的了解。大拓扑学家霍普夫于 1925 年的博士论文就研究高维的高斯-博内公式,他曾预言:“高斯-博内公式在高维的推广,是最重要的、也是最困难的问题。”他将它推广到超曲面的情形。外尔也作过贡献。C. 艾伦多弗和 A. 韦伊更证明了一般高维黎曼流形的高斯-博内公式。但他们的流形,都是嵌在欧几里得空间中的。我到普林斯顿之后给出了一个完全“内蕴"的证明。我用的是长度 1 为的切向量丛,而外尔、艾伦多弗和韦伊所处理的都是一种“非内蕴"的球丛。这一截然不同,导致了高斯-博内公式的彻底解决。我走了不同的路,这需要能力。
张:您最著名的工作是“陈示性类” (Chern Classes),为什么其他示性类,都没有“陈示性类”来得重要?
陈:这需一种眼光去分析。主要的示性类有三种:
1. 惠特尼示性类:一般的拓扑不变式;
2. 庞特里亚金示性类:实流形上的拓扑不变式;
3. 陈示性类:复向量丛上的拓扑不变式。
问题恰恰在于我所处理的是复向量丛。复数是一个神奇的领域。例如有了复数,任何代数方程都可以解,在实数范围就不可以。而我又着重研究向量丛,不仅刻画底空间,更刻画了纤维丛。这样,“陈示性类”就有更广更深的含义。这种既有局部意义又有整体意义的数学结构具有普遍价值,因此可以影响到整个的数学。我的眼光集中在“复“结构上,“复丛“比“实丛”来得简单。在代数上复数域有简单的性质,群论上复线性群也如此,这大约是使得复向量丛有作用的主要原因。
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