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数学大师陈省身接受张奠宙访问时的谈话

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发表于 2019-12-25 23:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
数学大师陈省身接受张奠宙访问时的谈话

访问者(张奠宙)的说明

1991 年我有幸访问位于加州伯克利镇小山巅上的美国国家数学研究所,因而躬逢其盛,得以参加当年十月同行为祝贺数学大师(也是创所所长)陈省身教授 80 华诞所举行的盛宴以及陈教授的答谢宴。随后,很幸运地,又获得了访问陈教授的良机。

陈省身是 20 世纪的数学大师,他在几何学上的贡献是划时代的,影响遍及数学的整体。他所得到的各种荣誉,例如数学上最高的沃尔夫 (Wolf) 奖、中央研究院院士衔、美国全国科学院院士衔、英国皇家学会以及意大利科学院二者的外籍院士衔、许多著名大学的荣誉博士衔等等,可说不胜枚举。但杨振宁以“欧高黎嘉陈”这句诗称颂他,将他与欧几里得、高斯、黎曼和嘉当这几位有史以来最伟大的几何学家相提并论,也许更能凸显他在数学史上的崇高地位。
要了解陈省身,要看清楚这么一位数学界的伟人,也许我们应该先从他那个时代的数学界看起。

1900 年前后,世界数坛由法国与德国争雄。法国数学以庞加莱为代表,研究三体问题、微分方程定性理论、组合拓扑学以及测度理论等,极一时之盛。然而,德国因为大学不集中,发展更为蓬勃。德国的领袖数学家,当推希尔伯特。后起的外尔、诺特、冯·诺伊曼等名家,全方位地研究泛函分析、李群论、数论、曲面几何、抽象代数,数学基础与数学物理等,数学研究充满活力。那时的法国、英国、俄国等也产生了不少数学大家。但领袖地位无疑操在德国,而美国还在向欧洲派留学生学数学的阶段。

20 世纪初年,满清王朝处于风雨飘摇之中,内忧外患,使中国数学大体上只相当于 17 世纪牛顿时代的水平,落后于西方达 200 余年。1911 年辛亥革命之后,中国开始现代数学的征途。由于美国退回庚子赔款的关系,中国的第一个数学博士胡明复,于 1917 年毕业于哈佛大学;次年,中国第一个现代几何学家姜立夫自哈佛大学取得博士学位;1928 年,杨武之和孙光远以数论和几何研究同时从芝加哥大学取得博士学位。因此,美国对中国数学影响深远。30 年代中国留德数学生中,杰出者有曾炯之等。惜曾不久去世,未能在中国发挥作用。

进入 30 年代之后,德国数学由于希特勒法西斯上台而日见式微,大批犹太血统数学名家流向美国。二次大战前后,美国遂成为世界数学中心。不过,30 年代的微分几何学研究,则仍以德、法两国领先。在函数论王国的巴黎,有一个光辉的例外,那就是“超越时代"的嘉当,他的工作当时很少人看得懂,后来却成为几何研究的出发点。在德国,汉堡大学的布拉施克则是几何学的代表人物。

陈省身生于辛亥革命那年,15 岁便到姜立夫主持的南开大学数学系就读,1930 年转到清华大学,其后跟孙光远研修微分几何,尽得国内名师传授。他 1934 年赴德国汉堡,两年后在布拉施克指导下获博士学位;1936-1937 年,又到巴黎接受嘉当的指导。在两位大师熏陶下,他迅即达到微分几何研究的前沿,成果累累。30 年代前后,代数拓扑学兴起。这是研究整体性质的有力工具,对 20 世纪后期的数学发展有决定性影响。当时能注意、理解和运用拓扑学的数学家很少,陈省身是其中杰出的一个。

1943 年,第二次世界大战正酣。陈省身应美国数学界领袖维布伦之邀,到美国普林斯顿高级研究所。此后两年间,他完成了一生中最重要的工作:证明高维的高斯-博内公式,构造了现今普遍使用的陈示性类,为整体微分几何奠定了基础。
陈省身在二次大战后回到中国,主持中央研究院的数学研究所。后来再度赴美,成为美国微分几何学派的领袖人物。本来,分析学一向是数学的主体,微分几何只是微积分在几何上的应用。但爱因斯坦广义相对论和杨(振宁)-米尔斯规范场论的推动,以及整体微分几何的形成,使得微分几何成为当代核心数学发展的主流学科,反过来影响分析学的发展。二次大战以后的数学,从线性数学转到非线性数学,从局部性质研究过渡到整体性质研究,从现实空间发展到研究一般的  维流形。微分几何恰好顺应了这一发展趋势。正因如此,陈省身“由于对整体微分几何学的杰出贡献,而对数学整体产生深远影响”而获得“沃尔夫奖”。(见沃尔夫基金会公告原文:“for oulstanding contributions to global differential geometry, which have profoundly influenced all mathematics...”)

陈省身虽是饮誉世界的大数学家,他的生平却平淡无奇。这儿没有硝烟弥漫的战场,没有引人入胜的侦探故事,没有如火如荼的政治事件,更没有五彩缤纷的感情世界。他所拥有的,只是令人目眩的数学天地。然而,我们可以看到,他选择了最有意义的研究方向,得到了举世最好数学导师的教育,因而能顺应 20 世纪数学中心转移的历史脚步,把握最佳的工作机会。这里当然有“机会”、“幸运"的因素。但我们仔细分析,就会看到一位执着追求理想,才华横溢,有充实人生的数学家和哲人。

陈省身的访问谈话

1991 年 10 月 28 日,张奠宙来到数学研究所三楼陈先生的办公室,对着窗外的金门大桥和旧金山海湾,开始了和这位数学大师的谈话。

格丁根、汉堡和巴黎

张:第二次大战以后的几十年中,微分几何学一直居于数学发展的主流地位,可算是当今的一个“热门”课题。请问您当初为什么选读几何学?

陈:说到“热门”,我倒是从不赶时髦的。我进入几何领域,可说完全由环境决定。我进南开碰到了姜立夫先生,他是研究几何的;毕业后,又遇到孙光远先生,他也是研究几何的,这就决定我走上微分几何的道路。如果单论个人兴趣,我也许更喜欢代数。

张:在 30 年代,微分几何是不是“热门”?

陈:不见得。分析一向是数学的主流。那时德国的格丁根学派有库朗的分析,E.诺特的代数。英国有哈代和李特尔伍德的函数论、解析数论学派,法国的皮卡、勒贝格和蒙泰尔等名家主导的函数论研究仍然强盛,希尔伯特和巴拿赫等倡导的泛函分析相当流行。虽说黎曼几何学得到广义相对论的推动,但毕竟是“阳春白雪”,少人唱和,并非“热门”。

张:二次大战以前的世界数学中心在德国的格丁根,您为何不去格丁根“朝圣”,反而去了汉堡?

陈:我觉得选择工作地点应该以自己的计划为主,至于见大人物,虽可供谈助,但和学问实不相干。当然,有大人物的数学中心,人才集中,气氛和环境与一般地方是不一样的。

我去汉堡,首先是因为布拉施克来华讲学,他讲的内容我都懂(差不多同时,美国的 G.D.伯克霍夫也来讲学,我却听不懂),因而可以进一步讨论。其次,我读过汉堡大学的《学报》上面的论文,引起很大兴趣。所以,我就去了汉堡。

张:那时的格丁根有没有很强的几何学家?

陈:有。如科-福桑;还有赫格洛茨,他是一个很伟大的数学家,搞的方向很广,也研究几何,刚体几何中就有赫格洛茨定理。不过,我还是觉得去汉堡较合适。

张:在汉堡,你获益很多吗?

陈:当然。除布拉施克之外,E.阿廷和赫克都是非常强的数学家。年资较浅的还有 E. 凯勒、H. 彼得森、H. 察森豪斯等,其中凯勒对我帮助很多。
还记得 1934~1935 年间,我的主要精力花在凯勒的讨论班上。讨论的内容以一本著名的小册子《微分方程组引论》为主,那就是后来有名的嘉当-凯勒定理。讨论班的第一天济济一堂,布拉施克、阿廷和赫克等都到场,但以后参加者愈来愈少,我是坚持到最后极少数人中的一个。将凯勒的理论用于网几何,再加上先前的一些结果,就构成了我的博士论文。我做学问,不赶热闹,有自己的想法,只选择最适合自己的工作去做。

张:在 30 年代,许多留学生一旦得了博士,便不再做研究了。您却到大数学家嘉当那里做“博士后”,显示您在事业上雄心勃勃。

陈:我读数学没有什么雄心。我只是想懂得数学。如果一个人的目的是名利,数学不是一条捷径。当时,最好的几何学家是嘉当,但在 30 年代,嘉当的工作很少人理解,被认为“超越时代”。我为嘉当的博学精深倾倒,遂于 1936 年 10 月到巴黎,在那里逗留了 10 个月。

话说回来,做研究实在是吃力而不一定讨好的事,所以学业告一段落便不再继续那是自然现象,中外皆然。在巴黎的庞加莱研究所,有整架的精装博士论文陈列,但大部分作者都已经不知去向了。长期钻研数学是一件辛苦的事。何以有人愿意这样做,有很多原因。对我来说,主要是这种活动给我满足。杨武之先生赠诗予我说“独步遥登百丈台”,实道出一种心境。我平生写了很多文章,甘苦自知,不是一言可尽的。

张:据说嘉当的工作很难懂,但您却把他的思想方法彻底掌握了,这可能是您成功的重要一步。

陈:是的。嘉当的主要工作是两方面:李群和外微分。这是研究微分几何强有力的新工具。要做“最好”的数学不掌握它不行。嘉当老是给我一些他所说的“小"题目,我回去研究,就变成了一篇篇的论文。也许因为我对他的指导总是有反应,他破例准许我到他家里访问,约每两周一次。谈完后第二天,还常会收到他的信,补充前一天的谈话内容。这些交往,使我理解了当时“最好”的几何学。

张:现在,大家都能理解嘉当的思想了吗?

陈:不一定。他的许多工作,即使到今天,也未见得被人普遍接受。我甚至说过,现在的许多微分几何学书籍都写得不好,他们总是从

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这样的关系式出发,推演整个微分几何。其实,嘉当的方法还要考虑到联络  , 曲率  这样两重关系。光是从上式出发,得不到许多好结果;倘若用我对嘉当的理解,则可以很容易得到。这一点我曾经提出过,但许多人仍旧不改。这倒也不错,我可以保留一种“秘密武器”,你们做不出的结果,我可以作出来,聊胜一筹。之所以发生这类情形,乃是因为几何是用代数控制的,不同的代数手段,会产生不同的几何结果。

普林斯顿和整体微分几何

张:那么,“整体微分几何“应是您想做的“最好”的数学了。

陈:微分几何学趋向整体是一个自然的趋势。了解了局部的性质以后,自然想知道它们的整体含义,但是意想不到的,则是有整体意义的几何现象。1943 ~ 1945 年间在普林斯顿那一段时期,我对数学的了解更增大了。研究整体几何学需要坚实的经典几何知识基础,要掌握当时刚刚诞生不久的代数拓扑理论,更要将嘉当创立的几何方法加以改造。这样才能别开生面,独树一帜。这样做,很费力,世界上涉足的人也很少,但这正是我追求的目标。

张:您去普林斯顿,是美国数学家维布伦和著名的外尔邀请的。他们希望您研究整体微分几何吗?

陈:没有。做什么研究,完全由自己的意愿决定。我到普林斯顿去,主要是和维布伦的联系。1936 年,当我还在巴黎时,维布伦写信给嘉当,询问有关投影正规坐标的事,这对维布伦学派的"几何路径” (geometry paths) 很重要。他们想发展一个更高级的微分几何理论,突破爱因斯坦理论所考虑的洛仑兹空间的限制,以便做出统一场论。我知道投影正规坐标可以用多种方法定义,但都有缺陷,于是就提出了一种基于嘉当几何方法的定义,寄给维布伦,这给他很深的印象。我在西南联大时,又曾经由维布伦转交我自己和王宪钟的一些论文,因而和他相熟,但从未谋面,他并不知道我对整体微分几何感兴趣。

张:战争年代应邀去普林斯顿,应该是很少见的事。

陈:确实。那时普林斯顿的经费很少,战争又正在进行,请人是很困难的。他们不但对我的研究感兴趣,也因为我是一个中国人。那时,中国人搞科学研究的不多,不会威胁美国人的"饭碗",所以他们也许会优先安排中国人访问。现在看来,我到普林斯顿是很幸运的,我一生“最好”的工作就在那里完成。

张:您去普林斯顿是一种幸运,那么做学问是否也有机遇的问题?例如,选择了一个方向,有时做得出成果,有时却做不出来。

陈:机遇不能说没有,但我想主要是看能力。就像在茫茫荒漠上找寻石油,光凭机遇怎么行?成功主要是靠地质学家的知识积累和科学判断能力。同样,即使有了数学问题,并不见得人人能解决,杰出的数学家就能解决别人做不出的问题。

张:能请您以整休微分几何为例来谈谈好吗?比如,您为什么选择整体微分几何作为研究方向?

陈:数学家要能分别好数学与坏数学,或者不大好的数学。譬如读诗看画,有些伟大的作品,令人百读不厌,投地拜服。数学工作亦是如此:从微分几何走向整体是一个自然的步骤。

但要能走这一步,必须作好工具的准备。我很早就注意代数拓扑的作用,1932 年布拉施克在北京作题为“微分几何中的拓扑学问题”的演讲,实际上仍是讲局部微分几何。1933-1934 年 E.施佩纳来华讲学,严格证明若尔当曲线将平面分为两部分的拓扑定理。我也听过江泽涵的一门拓扑课,但我当时觉得并未进入拓扑学之门。直至亚历山德罗夫和霍普夫合著的《拓扑学》出版,情况才有变化。代数拓扑是很重要的一门数学,我对它兴味很浓。

张:那么,您又为什么选择高斯-博内公式作为研究的突破口呢?

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二维高斯-博内公式

曲面上由有限个曲线弧相连而成的简单闭曲线 C,围成区域 D,各弧线外角为 αi(i=1,2,…,m),则

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ρ 为 c 的曲率,K 是高斯曲率。它的特例是三角形的三个外角之和为 2π 。

陈:我在西南联大教书时就对这一课题有不同平常的了解。大拓扑学家霍普夫于 1925 年的博士论文就研究高维的高斯-博内公式,他曾预言:“高斯-博内公式在高维的推广,是最重要的、也是最困难的问题。”他将它推广到超曲面的情形。外尔也作过贡献。C. 艾伦多弗和 A. 韦伊更证明了一般高维黎曼流形的高斯-博内公式。但他们的流形,都是嵌在欧几里得空间中的。我到普林斯顿之后给出了一个完全“内蕴"的证明。我用的是长度 1 为的切向量丛,而外尔、艾伦多弗和韦伊所处理的都是一种“非内蕴"的球丛。这一截然不同,导致了高斯-博内公式的彻底解决。我走了不同的路,这需要能力。

张:您最著名的工作是“陈示性类” (Chern Classes),为什么其他示性类,都没有“陈示性类”来得重要?

陈:这需一种眼光去分析。主要的示性类有三种:

1. 惠特尼示性类:一般的拓扑不变式;

2. 庞特里亚金示性类:实流形上的拓扑不变式;

3. 陈示性类:复向量丛上的拓扑不变式。

问题恰恰在于我所处理的是复向量丛。复数是一个神奇的领域。例如有了复数,任何代数方程都可以解,在实数范围就不可以。而我又着重研究向量丛,不仅刻画底空间,更刻画了纤维丛。这样,“陈示性类”就有更广更深的含义。这种既有局部意义又有整体意义的数学结构具有普遍价值,因此可以影响到整个的数学。我的眼光集中在“复“结构上,“复丛“比“实丛”来得简单。在代数上复数域有简单的性质,群论上复线性群也如此,这大约是使得复向量丛有作用的主要原因。
 楼主| 发表于 2019-12-25 23:21 | 显示全部楼层
数学家和数学学派

张:大家都要提高能力,可是怎样才能提高能力?是不是在于“用功”?

陈:当然必须用功。不过,用功与否不能看表面。成天呆在办公室里,没日没夜地看书、计算,草稿几麻袋,这是一种用功。但有些人东跑西看,散散步,谈谈天,也是在用功,而且说不定成就更大。当年在格丁根,范·德·瓦尔登成天呆在办公室里,而科-福桑则东跑西看,两人成就都很大。科-福桑在二维流形上的工作是开辟道路的。他东跑西看时,其实也在思考。

张:数学家成天计算,练技巧,证明难题和猜想,往往令人觉得像一位忙碌的工匠或工艺师。

陈:工匠和工艺师都是不可少的,优秀工艺品可以价值连城。问题是,数学大厦的结构需要数学家去设计,而新学科的开辟,往往有赖于新的数学观念和思想。这些光靠坐在办公室里练技巧是不成的,必须广为涉猎,与人交谈通信,融会贯通,扩大视野。

张:从您的谈话中,觉得您很重视怎样提问题,怎样看下一步发展,观测未来。

陈:是的。我觉得搞数学的人,要做“以后有发展的东西”,不能只看眼前。看今后不是订计划,写在纸上,而是思考方向。有了方向,才能提出自己的问题,自己的构想。解决别人提出的猜想,固然很好,很重要,但解决自己提出的有重大意义的理论课题,岂非更好更重要?我在普林斯顿时,常和大数学家外尔闲聊,他就是向前看。他有一次对我说“看来代数几何学将会有大发展。”后来的事实果真如他所料。

张:现在大家都认为“强大的美国微分几何学派“多半受到您的影响(见本书收录的《奥斯曼:几何学在美国的复兴:1938-1988》。)。您是怎样发挥这种影响的?

陈:学术影响主要是看工作,但个性也有关系。我喜欢与人交往:我和 A.韦伊的友谊巳有半个世纪了;和博特、尼伦伯格、谢瓦莱、格里菲思、塞尔和希策布鲁赫等著名数学家也都合作写过论文。此外,我带学生,由我任导师获博士学位的超过 40 人;我也和许多年青数学家交往,联合发表论文。我想我能看出有意思的问题来做。

张:有些数学家则较少与人交往,例如周炸良先生。

陈:周先生是我的老朋友。当年他和 M. 维克多结婚时,我是唯一的中国宾客。他是夜间工作者,白天睡到下午两三点钟,德国银行一点钟关门,每次取钱都得找我帮忙。周先生在代数几何方面成就很高,但生性澹泊,宁愿少和外界交往,把家庭生活安排得十分舒适,享受人生。当年中央研究院遴选院士,局外人很少了解他。我于是出来说:“如果周炸良不是院士,我们这些院士都觉得有些惭愧了。”后来他选上了院士,但从不参加任何活动。

张:那么,您是否觉得数学家应多担任一些社会公职或行政工作,藉以扩大影响?

陈:不,不,完全没有那个意思。我自己就不愿负责行政事务,曾经辞谢美国数学学会主席的职务。但开创性的事务例如创办本研究所,则是有意思的。这里,我不妨说一件中国数学史上的轶事。中国数学会迟至 1935 年成立,原因也是北方的姜立夫、冯祖荀诸数学前辈怕麻烦,不愿负责行政。后来南方的顾澄愿意干这类事,但自知资格不够,于是请了交通大学的胡敦复先生任首届主席,这样才在上海创会。抗战时顾投入汪伪政权,后方成立了新中国数学会,会长是姜立夫先生。光复后,这两个会合并,选出姜先生任会长,胡敦复先生也很高兴,大家相处很融洽。

张:您是不是可以谈谈和法国布尔巴基学派的交往?

陈:A.韦伊是布尔巴基学派的灵魂,和我是挚友,此外如 H.嘉当、J.迪厄多内和 C.谢瓦莱等也都是好友,但我并没有加入他们的活动。1936 年至 1937 年间,我正在巴黎大学嘉当处做博士后,那年,早期的布尔巴基成员正组织每两周一次的“朱利亚"讨论班,中心议题就是“埃利·嘉当先生的工作“,那时我和他们却是有接触的。

张:布尔巴基学派最出名的工作是他们所写的《原理》丛书,您对它有甚么看法?

陈:据韦伊说,在 30 年代,他们觉得许多数学家的工作都经不起推敲,没有严格的逻辑基础。为了避免以讹传讹,他们就从最基础的“集合“开始,写一套丛书,表明凡是写在他们书上的东西都是靠得住的。所以这是一套基础书,不是教本。

张:现在有些数学家批评布尔巴基学派的做法束缚人的思想。

陈:那是读者自己的问题。作者写他的观点,你可以跟着走,也可以不跟,不能把责任推到作者头上。其实,韦伊等人本身数学工作十分深刻,气势恢宏,并不是以那套《原理》丛书作为研究模式的。

张:布尔巴基对几何学研究有甚么影响?

陈:影响不大,因为像微分几何学中的斯托克斯定理究竟要甚么样的条件才恰恰合适?光滑是充分条件,但不光滑到甚么程度才刚刚好使斯托克斯定理能够成立?这根本没法决定。因此后来他们也意识到有些数学结构,不能像他们那样弄得一清二楚。因此那套书后来没有继续,原来每一专题出一套书的想法也没有实现。此外,他们忽视应用数学,也是不妥的。

张:迪厄多内主张在中学里“打倒欧几里得几何"引起很多反感。

陈:我也不赞成迪厄多内的这个观点。他们那套书,只是数学的一个方面,并不是模范。数学如果只有一个模式,生命就会枯萎。

数学在苏联和中国

张:能不能谈谈苏联的几何学研究?

陈:我只想谈一点苏联的拓扑学研究。苏联的亚历山德罗夫、柯尔莫哥洛夫、庞特里亚金等都作过很好的拓扑学研究。1935 年的莫斯科拓扑会议是一次大检阅。后来庞特里亚金转向控制论,亚历山德罗夫偏爱闭集,似乎有些偏,你仔细看惠特尼的文章(在美国数学会 100 周年纪念文集上),就知道 1935 年之后,他自己代表了后来拓扑学发展的主要方向。惠特尼是数学大家,但他也是一个默默耕耘的人,只有数学家才知道他的工作。不过他还是得了沃尔夫奖。

张:关于数学史研究,您还能谈些意见吗?

陈:我有一点想法:现在的数学史著作,好像是“新闻汇集",例如谁得了甚么奖、谁开了甚么会的消息之类,很少涉及数学发展的真正关键。有人建议我写一部微分几何学史,我打算试试,某段时期我当然是一个积极参加的人。但现在研究工作还很忙,何时动笔,十分渺茫。

另外,我心中还有一个中国数学史上的疑问:宋元时代中国数学发展得那么快,是否有外国的影响,例如阿拉伯人的影响?秦九韶在他的《数书九章》序中自己说得到“异人传授",这句话有甚么意思?中国数学家之间有无来往?当时是否有讲数学的学院?这些都是有兴趣的问题。

张:您今年八十大寿,大家都向您致贺,希望您高寿。

陈:80 岁并没有太多可高兴的。未来是属于年青人的,希望在年青人身上。到我这个年纪已不可能有体育爱好,听音乐对我是浪费时间。不过,我的脑子并没有休息,所以每年仍能发表几篇论文。

张:您对中国数学发展的前景有甚么看法?

陈:总的来说很乐观,因为年青人上得很快。海峡两岸都是如此。台湾现在已有 200 名数学博士,大陆的博士人数也在迅速增加,现在需要的领袖人物自然会产生的。

张:中国数学家在国际数学家大会上应邀作一小时报告的还没有,作 45 分钟报告的也很少,究竟是实际水平差,还是别人不了解?

陈:我想还是别人缺乏了解的原因居多。中国长期在国际数学联盟 (International Mathematical Union,即 IMU) 之外,别人不熟悉你的工作,就得不到报告的机会。不过,没有被邀作报告不太重要,反正那只是新闻,过了就算了,不值得太计较。重要的还是努力把工作搞上去。许多极好的数学家从未在国际数学大会上作过报告,但那并不影响他们的学术地位。

张:中国成为“二十一世纪数学大国”的愿望,能实现吗?

陈:“数学大国”并不是要“雄踞全球”,“征服一切”,只要能在中国本土上建立起数学队伍,与国外数学家进行平等的、独立的交往就好了。以中国之大,人口之多,实现这一点应该是不成问题的。

张:谢谢您。

陈省身后记 (1992年 1 月)

读了张奠宙先生的访问记录,很觉惭愧。谈话中有些话可能是偏见,请读者不要太认真。但所举事实相信都是正确的。

21 世纪的科学将蓬勃发展,使世界改观。只是前景无法预测,但数学必为基本的一支。原因是数学的出发点简单,一切根据逻辑,因此是一门坚强的学问。它何以在许多科学上都有用,则有点神秘了。个人的想法是:天下美妙的事件不多,“终归于一",是很可能的。但学问能层出不穷的深邃(如三维几何),则难解了。

一个数学家的目的,是要了解数学。历史上数学的进展不外两途:增加对于已知材料的了解,和推广范围。近年来数学发展迅速,令人目眩。数学家只能选择一些方面,集中思考。在一个小天地内,可以有无穷乐趣。陶渊明说:"每有会意,便欣然忘食。”杜工部说:“文章于古事,得失寸心知。”这也是数学家的最高境界。

人的精力有限。我想数学家应求“先精一经”,如有余力,则由此出发,再求广博。要知道能精一经已是很大的成就了。

20 世纪中国建立了近代数学的基础,成就可观。21 世纪必然要看到中国数学的光明时代。愿同志们抱着信心,奋勇前进。
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