{A(n)} 是非 0 数列，已知 lim(n→∞)A(n)/A(n+1)=0 ，求 lim(n→∞)A(n)

doletotodole

数列An, 非零, Lim An/A(n+1)  等于0, 则Lim An 是多少?


我得出了无穷大, An数列是N阶乘的话,就会出现该极限等于0.
但是,是否还有别的可能性, 就不知道了.

大佬帮忙看看.

luyuanhong

题 {A(n)} 是非 0 数列，已知 lim(n→∞)A(n)/A(n+1)=0 ，求 lim(n→∞)A(n) 。

解  因为已知 lim(n→∞)A(n)/A(n+1) = 0 ，所以 lim(n→∞)A(n+1)/A(n) = ∞ 。

    由 lim(n→∞)A(n+1)/A(n) = ∞ 可知，必有一个正整数 N ，使得当 n＞N 时，

    总是有 ｜A(n+1)/A(n)｜＞2 ，也就是有 ｜A(n+1)｜＞2｜A(n)｜ 。

    所以，只要 n＞N ，就会有

｜A(n)｜＞2｜A(n-1)｜＞2^2｜A(n-2)｜＞2^3｜A(n-3)｜＞ … ＞2^(n-N)｜A(N)｜ 。

    因为 {A(n)} 是非 0 数列，所以 ｜A(N)｜＞0 ，因此必有

              lim(n→∞)｜A(n)｜≥ lim(n→∞)2^(n-N)｜A(N)｜= ∞ 。

    也就是说，必有 lim(n→∞)A(n) = ∞ 。

doletotodole

luyuanhong 发表于 2019-12-18 23:28
题  {A(n)} 是非 0 数列，已知 lim(n→∞)A(n)/A(n+1)=0 ，求 lim(n→∞)A(n) 。

解  因为已知 lim(n→ ...

这个2没看懂, 不过用定义解确实好思路,我自己再算算.

doletotodole

我明白了, 这个2其实是M, 也就是M的n-N次方是无穷.

luyuanhong

doletotodole 发表于 2019-12-25 23:50
我明白了, 这个2其实是M, 也就是M的n-N次方是无穷.

对。你的理解很正确。