“哈佛定理”，一个被高大上了的几何定理

luyuanhong

“哈佛定理”，一个被高大上了的几何定理

作者 | 蒋迅

来源：Presh Talwaklar (https://mindyourdecisions.com/bl ... -talented-students/)



我在“数学教育与竞赛”群里看到这样一个题。据说是国内一个小学用来选拔五年级天才学生的一道题目。有学生居然秒解出来。有人拿到群里给老师们做。当然这个群里大有能人。基本上也是秒解出来的。他们说是用到了一个“哈佛定理”。想必那些天才学生也是知道这个所谓的“哈佛定理”的。在美国，平面几何最早也要等到七年级。可能大陆的数学教育真是超前许多。

我不知道“哈佛定理”，但我喜欢学习。于是 Google 了一下，顺利找到了把这道题传到网上的数学老师的博客“Mind Your Decision (https://mindyourdecisions.com/blog/)”。这是一个非常值得订阅的博客。这位作者 Presh Talwaklar 是斯坦佛大学数学与经济学专业毕业的。作者有自己的油管视频 (https://www.youtube.com/user/MindYourDecisions)，推特 (https://twitter.com/preshtalwalkar)，还出版五本书籍：

The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Thinking (https://amzn.to/1uQvA20)

40 Paradoxes in Logic, Probability, and Game Theory (https://amzn.to/1LOCI4U)

The Irrationality Illusion: How To Make Smart Decisions And Overcome Bias (https://amzn.to/1o3FaAg)

The Best Mental Math Tricks (https://amzn.to/18maAdo)

Multiply Numbers By Drawing Lines (https://amzn.to/XRm7M4)

走题了。让我们回到前面的几何题目来。这道题是说：给定一个平行四边形 。其中黄色区域的面积分别为 8，10，72，和 79。求红色三角形的面积。图形不按比例。

这道题的关键是平行四边形与对角线下的三角形的面积公式。如图



我们知道，平行四边形的面积是底乘以高，而被对角线分割出来的两个三角形的面积都是平行四边形面积的一半。这里的高是两条水平平行边之间的距离 ，我们把它称为竖高。它垂直于两条平行线。记水平边的边长为 ，则成立

            SABCD = L1×h1 ，SABD = L1×h1/2 = SABCD/2 。

同时我们也知道，与两条平行的斜边垂直也可以做高线，我们称为斜高，记为 。记水平边的边长为 ，则有



            SABCD = L2×h2 ，SABD = L2×h2/2 = SABCD/2 。

这两个公式可以稍微再推广一点。假定我们在平行四边形的一条平行底边（或者是，或者是）上有两个紧紧相挨的三角形，它们的底边只有一个交点而且两个三角形的底边充满了整个平行四边形的底边。再假定它们的另一个顶点都在平行四边形的另一条平行边上，那么这两个三角形面积之和也同样是平行四边形面积的一半。如下图



当然我们也可以把这个结论推广到更复杂的  个三角形的情况，但现在我们已经有了足够的准备。让我们（再次）回到我们一开始的问题上。我们把要求的面积记为 x ，把其他几个为止的区域的面积也都分别标上 a , b , c , d , e , 和 f 。



首先考虑平行四边形的上底  下面的两个紧紧相挨并覆盖了整个上底的一直延申到下底的两个三角形。我们用蓝色来示意它们。由上面的讨论，我们有

         (x+a)+(72+b+8) = SABCD/2 。

再来看平行四边形的左斜边上覆盖了整个左斜边并延申到了右斜边的三角形。我们用橘色来示意它。我们有

         a+79+b+10 = SABCD/2 。

于是我们有

       (x+a)+(72+b+8) = a+79+b+10 。

从这个等式中消去 a 和 b ，就得到了

         x = 79+10-72-8 = 9 。

题目做完了，有读者会问：“哈佛定理”在哪里呢？原来上面提到的三角形面积为平行四边形面积的一半的结论有时候被称为“一半定理”。而“数学教育与竞赛”群里做题的群友们大多是生活在北美的数学大咖。他们用了“Half Theorem”这样一个英文词。这个词有点土气。他们就又把这个英文词音译成了“哈佛定理”这样一个高大上的名字。于是一个与哈佛大学没有一点关系的“哈佛定理”就诞生了。当然我们在教学中不太适合用这个名字，但从这个有趣的故事中学到一点知识，得到一点技巧也是挺不错的。