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设 n 是大于 1 的整数,S 是 n 所有不等于本身的因数之和,求证:S<n*ln(n)

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发表于 2019-12-8 19:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
问题是这样的:n是大于1的整数,S是n所有不等于本身的因数之和,求证:S<n*logn.
其中iog指的是自然对数。题目如此简单,有没有简明的证法?
发表于 2019-12-9 22:09 | 显示全部楼层
用n/ln(n)不行啊, 因子可能素数也可能非素数.
好难.

记得古书记载 S可以大于N也可以小于N, 至于Nln(n)就搞不懂了.
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 楼主| 发表于 2019-12-10 10:29 | 显示全部楼层
我想一个方法,是否能证明 不等式 S<k*n 中的k值有一个上界,比如说,k<3,那么这个题目只要验证几个答案就可以了。有这方面的资料吗?
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 楼主| 发表于 2019-12-11 09:46 | 显示全部楼层
我的上述想法不不正确的,没有确定数的上界。虽然我通过构造数列证出来了,但暂时不写出答案,看看有没有不同的想法。
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发表于 2019-12-11 11:30 | 显示全部楼层
大概想法: 设 p(k) 是素数, e(k) 是正整数,  可设  n = p(1)^e(1) .... p(m)^e(m)


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发表于 2019-12-11 21:58 | 显示全部楼层

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发表于 2019-12-11 23:19 | 显示全部楼层
楼上 elim 的解答很好!已收藏。
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 楼主| 发表于 2019-12-12 08:05 | 显示全部楼层

证得漂亮!比我的证明简单多了。
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 楼主| 发表于 2019-12-12 21:09 | 显示全部楼层
我的证明如下,本来有好的证明,这个证明可以作废,只是花了我一晚的思考,不忍抛弃,放上来聊备一格。

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发表于 2019-12-12 23:39 | 显示全部楼层
谢谢ccmmjj兄的分享. 按照我一开始的想法, 想来也会这么做的. 我一直在琢磨一些基本的东西, 凑巧碰到了这么个漂亮题目.

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