数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 123|回复: 0

张寿武:数学中的无解之解

[复制链接]
发表于 2019-11-20 18:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
张寿武:数学中的无解之解

人类对数的抽象思考古已有之。约2500年前,毕达哥拉斯就提出了“万物皆数”。随后,无理数的发现开启了数学家对二次方程的求解。在追求三次方程及更高次方程的路途上,一代代天才数学家艰苦求索,付出了各式代价。费马大定理的求解花费了数学家数百年时间;四次方程被求解后两百多年,阿贝尔才证明了五次方程不可解。11月16日,普林斯顿大学数学系教授张寿武在未来论坛上以《数学中的无解之解》为题,报告了方程无解给数学带去的思想激荡。


张寿武(普林斯顿大学数学系教授,美国艺术与科学学院院士)

很高兴能够参加未来科学大奖周,我接到组委会邀请来做一个30分钟的报告,这对我来说是不太容易的事情,我之前都是给数学系大学生、研究生或者对数学有兴趣的中学生做报告,所以第一次做公众报告讲解关于未来科学的题目,对我来讲有点沉重,我讲点轻松的东西。

今天听众里大人比昨天多些,昨天碰到很多中学生来听报告。中学生通常考虑的问题是念什么专业最有前途。在这个年代恐怕有两个主题是最好的专业,一个是计算机,一个是金融,这两个专业都可以给你带来丰厚的工资。在我们的年代也一样,我们那时叫做“学好数理化,走遍天下都不怕”。我觉得数理化中最有用的大概是化学,因为像家里面所有的东西基本都是化学制品。信不信由你,当年我也考上中山大学化学系,进入化学之后发现化学不好学,然后就去看物理书,发现物理也不好学,学物理要把数学学好,所以我转到数学系去了。

数学家有两类,一类是应用数学家,他们能解决问题,还有一类是纯粹数学家,他们解决不了问题。我发现我没办法跟应用数学家在一起拼,因为他们的解题水平太高了,所以我就变成了一个纯粹数学家。纯粹数学家关注那些不能解的问题,所以就瞎掰,我今天的报告主要就是瞎掰,基本上没有什么用。但是如果你仔细听,你会发现这些瞎掰的数学也不容易做。

从万物皆数到求解三次方程

我讲的第一部分是万物皆数。万物皆数这个道理是古希腊的大哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras)提出来的,他通过研究乐律和星座,发现万事万物都与数字有关系,所以在研究世界之前,应当把数字研究清楚。他办了一个学校,是一个秘密学校,这个学校主要教授哲学、音乐、天文和数学。他把许多事都标上数,比如说1代表推理,2代表意见,3代表和谐,4代表公正,5代表婚姻和爱情,奇数代表阳,偶数代表阴。这就是他的观点。

张寿武:数学中的无解之解-1.jpg
古希腊哲学家毕达哥拉斯

毕达哥拉斯说的数是指有理数;先有整数,整数之后再有分数。有了整数之后我们就可以解所谓的线性方程。比如说3X= 5,那么X等于几?等于5/3。这就是毕达哥拉斯当年的研究。但毕达哥拉斯很快发现光有有理数是不够的。

大家知道勾股定理,但你如果到美国念书,它就不叫勾股定理,而叫毕达哥拉斯定理。我们现在虽然把它叫做毕达哥拉斯定理,但其实并不是毕达哥拉斯最先得出的,历史记载都比这早得多。但是这个定理的名字把功劳归于了毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯有一个学生在研究单位正方形的对角线时发现了问题,他发现对角线的长根号2不是有理数。这个问题就非常严重了,因为毕达哥拉斯认为所有的数都应当是有理数。他学生发现了这一问题,发现之后他还告诉别人,对毕达哥拉斯来说这可是不得了的事,后来他就把这个学生沉到海里去了。这位学生为发现无理数付出了生命的代价。有了无理数,我们现在就知道二次方程可以求解,并且我们的中学生可以得出这个解,这是很了不得的事情。若没有根号,我们的求解将会很困难。

现在又到了三次方程。求解三次方程也是一段很长的历史。在1500年以前,中国人已经知道数值解,这在数值解领域中是做得比较早的。但是在精确解方面,中国人没有研究过。我们知道中国人不会研究没用的东西,而数值解有用。关于三次方程的数学解,也有一个很长的故事。这些故事都是发生在几百年前的意大利。

起先有一个数学家叫费罗(Scipione del Ferro),他发现了解一些三次方程的方法,但是他还没有负数的概念,所以解方程比较被动,把正的挪到一边,负的挪到另一边,正的等于正的,所以他解方程很困难。我们现在叫配方,那个年代连减都不能减,所以更没法配方。他发现了一类方程的解,但是这个哥们儿写在小本上,他死了之后,交给他的女婿,他女婿也是个数学家,他女婿继承了他的位置并把这个方法保存起来。他的另外一个学生菲奥利(Antonio Maria Fiore)到处吹嘘自己知道怎么解三次方程。后来他碰到另外一个数学家,叫做塔塔里亚(Niccolò Fontana Tartaglia),塔塔里亚也知道怎么解三次方程,但是他们两个解的三次方程不一样。后来他们决定要打一次赌,要比一比,你出30道题,我出30道题,咱们就拼一拼。结果塔塔里亚在比赛的前一天整整算了一天,就把解菲奥利那些三次方程的方法弄出来了。这样,菲奥利忙活了一天都没有解出塔塔里亚的方程, 而塔塔里亚很轻松就赢了。那时候不像现在,那时如果你知道怎么解方程,就会把这个证明写出来,放在兜里,作为秘密保存下来。

当时,另外一个意大利数学家卡尔达诺(Girolamo Cardano)在写一本书,他想知道塔塔里亚怎么解方程,他问:“你能不能把这个秘密告诉我,我坚决不会告诉别人,等到多少年之后我再来发表。”卡尔达诺后来从别的途径知道很早之前菲奥利已经知道这个证明了,他把塔塔里亚的证明书写出来发表了。后来塔塔里亚就很生气:“你跟我发誓说不要发表这个证明,现在怎么给写出来发表了?”于是卡尔达诺就要跟塔塔里亚打赌,又要去比赛。卡尔达诺派了一个学生叫费拉里(Lodovico Ferrari),费拉里跟塔塔里亚比赛。费拉里这哥们儿更高明,他不只知道负数,他还知道复数,结果费拉里就赢了,赢了之后塔塔里亚不只是把钱都输光了,职位也丢了。那时候做数学的危险系数很高,前面丢了命,后面工作都没有了,这就是解三次方程的例子。其实到今天我们有正数和负数的概念之后,这个解并不复杂。

把三次方程 x3+px+q=0 跟 (y+z)^3 的展开式做一个比较可以发现,把这个方程可以变成三个容易求解的方程组。也就是 - (y^3+z^3)=q,-3yz=p,y+z=x,稍微学一点中学数学,这些方程就能求解了。但在那个年代不容易,三次方程就是这个样子。而四次方程,用刚才前面的方法也能求解。


五次方程里的两位天才悲剧数学家

现在我讲五次方程。五次方程困扰数学家许久。这个问题被250年后的阿贝尔(Niels Henrik Abel)解决了。阿贝尔这个人是一个传奇式的人物。举一个最简单的例子,大家知道科学里有诺贝尔奖,数学里面有菲尔兹奖,大家通常把菲尔兹奖和诺贝尔奖做比较,但这是错的。在1899年的时候,数学家们就提出来要用阿贝尔的名字做一个奖来代替诺贝尔奖,由于瑞典和挪威当时分裂了,这个事就耽搁了,耽搁了差不多一百年,所以阿贝尔奖第一次颁奖是2003年。你就知道阿贝尔这个人不是简单的人。

张寿武:数学中的无解之解-2.jpg
挪威数学家阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802-1829)

阿贝尔是个才情极高的数学家,但是他只活了26岁,是一个非常不容易的人。他早年在做数学的时候就已经发表过很多文章,但是不知道什么原因,他的很多工作都被拒绝。他第一次证明了五次方程不可解的时候,用六页纸写下来,他把讲稿寄给高斯(Carl Friedrich Gauss),高斯没理他。他后来在杂志发表了这个证明,当时很多人不相信,原因是证明太简略。他为什么不写长一点? 他没钱。现在发表文章,把文章往杂志一投,审一下稿就发了。但是那时你如果发表文章要根据页数交钱,可他那时候没有钱,所以这个文章很短。你不要笑话他,前苏联也是这样,前苏联有很多数学家写的文章很短,我们现在认为苏联数学家写得很精炼,法国数学家写得很啰嗦,其实不是,苏联数学家没钱,所以他只能写那么短。所以阿贝尔这个五次方程不可解的结论,在过了很多年之后别人又重新给出证明。他为了证明五次方程不可解,引入了群论,所以阿贝尔是群论的创始人之一。阿贝尔几次到哥廷根、到巴黎去跟大数学家切磋,都以失败告终,因为他写东西写得不清楚,太精炼。他所有的荣誉都是在他死后得到的,他是得肺结核死的。最悲惨是,他死了几天之后,他在柏林的教职才批下来,寄到他家里面,所以是很悲惨的例子。今天的阿贝尔奖就是为了纪念他。

五次方程不可解还涉及另外一个数学家——伽罗瓦(Evariste Galois)。伽罗瓦是一个法国数学家,你看看他的岁数,他大概活了20岁。这个数学家小时候就有很高的数学天赋,他当时想考巴黎综合理工学院(Ecole Polytechnique),当时是法国数学最好的大学,相当于我们早期的清华大学,清华大学三、四十年代数学系是最好的。但他只考了巴黎高等师范学院(Ecole normale superieure),相当于早期的北京大学。不过今天的巴黎高师很厉害, 我们的北京大学也很厉害。

张寿武:数学中的无解之解-3.jpg
法国数学家伽罗瓦(Evariste Galois,1811-1832)

伽罗瓦有很强的数学天赋,但他是一个政治热衷者,常常卷入政治斗争。他是共和派,以前分保皇派和共和派,他为了共和派上街游行、坐牢。坐牢时候,在牢房里面碰见一个姑娘,他喜欢这个姑娘,出狱后就为了那个姑娘去决斗。他知道他的对手比他强太多了,也知道他肯定必死无疑。在临死前五天,他把他所有知道的都写了下来,写在小本本里面。他之前曾经把论文寄给柯西(Augustin-Louis Cauchy)和傅里叶(Joseph Fourier),这两个数学家也不认为他的东西怎么样,一放放了几十年。所以几十年后,伽罗瓦的东西才发表。他所有的东西都是对的,而且他也独立发明了群论。

我讲了两个天才,伽罗瓦比阿贝尔的高明之处在于,阿贝尔说一般的五次方程不可解,伽罗瓦说随便你给我五次方程,我在几步之内就知道它可解不可解。你看有些数学家真是疯子,为了政治、为了爱情,把命都丢掉了,但是他丢了命确实跟数学没有关系,如果他好好做数学应该没有问题。

所以到这个地方我要打一个成语,过一会儿到我的演讲结束之后会把谜底揭示出来。“方程无解”打一成语,你如果知道先别说。


二次和与费马最后定理

第三部分要讲的,用现代化一点的语言,叫做“等幂和问题”,这是个很古老的问题。这个古老的问题是什么呢?我给一个整数,什么时候整数可以写成两个有理数的k次幂的和?这是一个很经典的问题。比如说1等于3/5的平方加4/5的平方,这跟前面有什么关系?如果前面所有解的东西都是一元多次方程,一个方程只有一个变元,这些东西可不可解的问题相对来讲简单一点。但是现在一个方程里面有两个变量在里面,要求在整数或有理数范围内求解,这问题就复杂得多了,因为多了一个维度。

这个问题也有很早的历史,应该最早是在欧几里得的《几何原本》里面就遇到了。欧几里得这本书也有两千多年的历史,它的印刷次数仅次于《圣经》。不过专门研究这些整数方程其实是在另外一本书里,是公元后两百年,有一个叫丢番图(Diophantus)的人,他写了一本叫《算术》的书。书里面大概有几百道数学问题,他的书跟中国《九章算术》差不多同时代,《九章算术》也列了几百道问题,也提到哪些数可以写成两个数的平方。丢番图通过一些演算之后,他猜测一个素数能够写成两个数的平方,当且仅当这个数除以4余1。 比如5,5是1的平方加2的平方,11就不能写成两个数的平方和,因为你把11除以4之后余3,对吧?17没问题,4的平方加1的平方。他的猜想差不多花了1000多年之后才被费马(Pierre de Fermat)证明。

张寿武:数学中的无解之解-4.jpg
法国数学家费马( Pierre de Ferma,1601-1665)

费马是一个传奇式的人物,首先他不是一个数学家,他是一个法官,作为法官不能跟老百姓随意聊天,因为怕影响判决的公正性。他平时没什么事儿就喜欢做数学。做完数学之后,他就写信把结论告诉朋友,但是不把证明寄给朋友,所以这就变成一个非常有趣的事情。他证明了很多定理,都叫做费马定理,但是都没有证明。其中最出名的一个例子,大家知道刚才前面提到的丢番图的《算术》那本书里关于平方和的问题,被费马推广成高次和问题,然后他上面写“我已经找到一个绝妙的证明”,但是他说“那书页边太小,我写不下”。

费马一辈子列出了很多定理,许多年之后出现了另外一个大数学家欧拉(Leonhard Euler)。欧拉年轻的时候名气也不大,他企图证明费马的全部定理,除了其中一条他证不出来以外,其他的全部定理他都给出了证明,这个证不出来的定理就被他称为“费马最后定理”(Fermat’s Last Theorem,即费马大定理)。但是这个定理在300年之后,被普林斯顿的教授证明了。

我今天讲的是费马第一个出乎意料的定理,他证明了一个没有平方因子的有理数是两个有理数的平方和。这个数分解之后,每个素因子要么是2,要么是4n+1。2是很好办的事情,但是他把4n+1的情况证出来了。

他在某一年的圣诞节,给一个朋友写了一封信,说我已经证出来一个有理数是两个平方数的和,并称其解绝对妙。一个数能够写成两个数平方和的话,费马说他还可以找一个更小的数,也是满足同样的条件。一直推,推到最后也推不下去了,肯定就做出来了。然后费马给他这个办法起个名字叫“无限下降法”。无限下降法是数学领域一个分支——数论里面一个最经典的方法。同样,他的证明从来没有细节,这个证明的细节是欧拉多年之后证出来的。

费马还有很多有趣的事情,大家知道微积分通常说是牛顿(Isaac Newton)发明的。如果你把牛顿的《数学原理》打开,牛顿说自己的工作都是受费马工作的影响,因为费马在当年没有微积分的情况下已经知道怎么求解极值和面积,费马甚至知道什么叫变分法,这是很了不起的。


未来的数学

我最后要讲的是关于未来数学,前面都是古典的数学。我前面说二次和问题解决了,那么三次四次怎么解决?剩下的问题我们所知甚少。

我们第一个猜想是,一个整数能够写成两个有理数的立方和的概率只有1/2。这是很邪门的,你有时候能做,有时候不能做,只有1/2的机会。要证明这个猜想首先要解决另外一个大猜想,就是2000年克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)提出的千禧问题之一——BSD猜想,解决问题就能拿100万美金,不需要像我们未来科学大奖,连评都不评,只要文章拿出来就给你钱。

关于四次以上的等幂和问题,我们知道得更少。1983年,法尔廷斯(Gerd Faltings)证明这个方程如果有有理解,最多只有有限多个解。但是你要知道这个问题的难处在于是求有理数解,如果是整数还好办一点。由于他证明了这么一个结果,1986年他拿到了菲尔兹奖。

另外一个数学家叫怀尔斯(Andrew Wiles)。1994年,怀尔斯解决了 n>2 的情况,就是费马当年没有空余地方写的那个定理的证明。不过这项伟大的结果并没有让怀尔斯(Andrew Wiles)拿到菲尔兹奖,他只拿到了一个银牌,因为他当时超过了40岁。今天人们认为350年前的费马并没有证明他的定理,他只是开个玩笑。

另外一个关于高次等幂和问题的猜想叫做ABC猜想。我没有时间讲,如果ABC猜想被证实的话,这个方程不只是知道有有限多个有理解,应该有具体的程序来求解,就是把方程输入计算机之后,计算机程序能帮我把数解出来。法尔廷斯用了反证法,所以他的方法不能用来求具体解。未来的数学有两大猜想,一个是BSD猜想,一个是ABC猜想。我想今天张益唐会讲另外一个猜想——黎曼猜想,数论里面差不多有这三大猜想。

最后,就当今天大家听听笑话,你要真的做数学,大家想想看,代价很大,要么付出生命代价,要么饥寒交迫。不过,今天社会还是好很多,我们国家对数学的重视程度在如今跟以往没法比。

现在我介绍一些人们对数学家的描述。达尔文(Charles Robert Darwin)说,一位数学家就是一个黑屋子里的瞎子,在找一个本不存在的黑帽子。这是数学的无解之解。毕达哥拉斯是最早的哲学家之一,他提出有两种宇宙:感性宇宙和理性宇宙。物理化学是感性宇宙,理性宇宙是人们想象的世界,数学就是。另外一个叫埃尔德什(Paul Erdos)的数学家说,数学家就是把咖啡转化成定理的机器。数学家没事就去喝咖啡,边喝咖啡边做数学,如果喝完也做不出来,那就继续喝,直到把问题做出来。

那么我要揭开前面谜语的谜底了,方程无解——求之不得。对数学家来说,方程无解是一件既无奈又有趣的事情。无奈往往标志着旧体系的结束,有趣标志着新时代的开始。通过解这些无解方程,人们将自己的智慧和开拓精神发挥到极致,给数学世界注入了新的活力。
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2020-1-24 14:01 , Processed in 0.370659 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表