起先有一个数学家叫费罗(Scipione del Ferro),他发现了解一些三次方程的方法,但是他还没有负数的概念,所以解方程比较被动,把正的挪到一边,负的挪到另一边,正的等于正的,所以他解方程很困难。我们现在叫配方,那个年代连减都不能减,所以更没法配方。他发现了一类方程的解,但是这个哥们儿写在小本上,他死了之后,交给他的女婿,他女婿也是个数学家,他女婿继承了他的位置并把这个方法保存起来。他的另外一个学生菲奥利(Antonio Maria Fiore)到处吹嘘自己知道怎么解三次方程。后来他碰到另外一个数学家,叫做塔塔里亚(Niccolò Fontana Tartaglia),塔塔里亚也知道怎么解三次方程,但是他们两个解的三次方程不一样。后来他们决定要打一次赌,要比一比,你出30道题,我出30道题,咱们就拼一拼。结果塔塔里亚在比赛的前一天整整算了一天,就把解菲奥利那些三次方程的方法弄出来了。这样,菲奥利忙活了一天都没有解出塔塔里亚的方程, 而塔塔里亚很轻松就赢了。那时候不像现在,那时如果你知道怎么解方程,就会把这个证明写出来,放在兜里,作为秘密保存下来。
现在我讲五次方程。五次方程困扰数学家许久。这个问题被250年后的阿贝尔(Niels Henrik Abel)解决了。阿贝尔这个人是一个传奇式的人物。举一个最简单的例子,大家知道科学里有诺贝尔奖,数学里面有菲尔兹奖,大家通常把菲尔兹奖和诺贝尔奖做比较,但这是错的。在1899年的时候,数学家们就提出来要用阿贝尔的名字做一个奖来代替诺贝尔奖,由于瑞典和挪威当时分裂了,这个事就耽搁了,耽搁了差不多一百年,所以阿贝尔奖第一次颁奖是2003年。你就知道阿贝尔这个人不是简单的人。
挪威数学家阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802-1829)
阿贝尔是个才情极高的数学家,但是他只活了26岁,是一个非常不容易的人。他早年在做数学的时候就已经发表过很多文章,但是不知道什么原因,他的很多工作都被拒绝。他第一次证明了五次方程不可解的时候,用六页纸写下来,他把讲稿寄给高斯(Carl Friedrich Gauss),高斯没理他。他后来在杂志发表了这个证明,当时很多人不相信,原因是证明太简略。他为什么不写长一点? 他没钱。现在发表文章,把文章往杂志一投,审一下稿就发了。但是那时你如果发表文章要根据页数交钱,可他那时候没有钱,所以这个文章很短。你不要笑话他,前苏联也是这样,前苏联有很多数学家写的文章很短,我们现在认为苏联数学家写得很精炼,法国数学家写得很啰嗦,其实不是,苏联数学家没钱,所以他只能写那么短。所以阿贝尔这个五次方程不可解的结论,在过了很多年之后别人又重新给出证明。他为了证明五次方程不可解,引入了群论,所以阿贝尔是群论的创始人之一。阿贝尔几次到哥廷根、到巴黎去跟大数学家切磋,都以失败告终,因为他写东西写得不清楚,太精炼。他所有的荣誉都是在他死后得到的,他是得肺结核死的。最悲惨是,他死了几天之后,他在柏林的教职才批下来,寄到他家里面,所以是很悲惨的例子。今天的阿贝尔奖就是为了纪念他。
这个问题也有很早的历史,应该最早是在欧几里得的《几何原本》里面就遇到了。欧几里得这本书也有两千多年的历史,它的印刷次数仅次于《圣经》。不过专门研究这些整数方程其实是在另外一本书里,是公元后两百年,有一个叫丢番图(Diophantus)的人,他写了一本叫《算术》的书。书里面大概有几百道数学问题,他的书跟中国《九章算术》差不多同时代,《九章算术》也列了几百道问题,也提到哪些数可以写成两个数的平方。丢番图通过一些演算之后,他猜测一个素数能够写成两个数的平方,当且仅当这个数除以4余1。 比如5,5是1的平方加2的平方,11就不能写成两个数的平方和,因为你把11除以4之后余3,对吧?17没问题,4的平方加1的平方。他的猜想差不多花了1000多年之后才被费马(Pierre de Fermat)证明。
费马一辈子列出了很多定理,许多年之后出现了另外一个大数学家欧拉(Leonhard Euler)。欧拉年轻的时候名气也不大,他企图证明费马的全部定理,除了其中一条他证不出来以外,其他的全部定理他都给出了证明,这个证不出来的定理就被他称为“费马最后定理”(Fermat’s Last Theorem,即费马大定理)。但是这个定理在300年之后,被普林斯顿的教授证明了。
现在我介绍一些人们对数学家的描述。达尔文(Charles Robert Darwin)说,一位数学家就是一个黑屋子里的瞎子,在找一个本不存在的黑帽子。这是数学的无解之解。毕达哥拉斯是最早的哲学家之一,他提出有两种宇宙:感性宇宙和理性宇宙。物理化学是感性宇宙,理性宇宙是人们想象的世界,数学就是。另外一个叫埃尔德什(Paul Erdos)的数学家说,数学家就是把咖啡转化成定理的机器。数学家没事就去喝咖啡,边喝咖啡边做数学,如果喝完也做不出来,那就继续喝,直到把问题做出来。