[分享]摘自360百科 四色定理(词条)

波斯猫猫

数学证明
       [1]找到用数学理论的证明是人类研究“四色问题”的终极目标。

       四色定理的理论证明，已有一个实例，其证明是用第二数学归纳法证明的。大意是：首先，验证初始值1≤n≤15时四色定理成立；其次，设置归纳假设15≤n≤k时四色定理成立；再次，递推n=k+1时四色定理成立。递推时令Q为构形国，分为二构形、三构形、四构形、五构形等四类论证。

       证明的理论基础是，在肯普证明了“在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图。”的基础上，提出并阐明了n构形（n取2、3、4、5）、构形国、正规地图边界、边沿国等概念。依次采用构造法、反证法、第二数学归纳法等证明了关于五构形的三个引理，引理1：五构形的国家个数的集合W＝｛12,14,15,…,n,…｝；引理2：任意五构形中存在构形国不是边沿国；引理3：在n≥15的五构形中，若包围构形国Q的每个邻国与Q只有一条共同边界，Q的邻国两两相邻的组数是五，这五个邻国中存在邻国个数大于五的国家P，则四色定理成立。

       这个证明采用的是“区块”换色，有别于当年肯普的“证明”采用的是“肯普链”换色。

局限性
       虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色。但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现飞地即两个不连通的区域属于同一个国家的情况例如美国的阿拉斯加州而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下四个颜色将会是不够用的。

       参考资料
       1． 探索四色定理的数学证法  . 《科学智慧火花》中国科学院主办 中国科学技术协会协办 . 2018-08-19 . [2019-11-10]

雷明85639720

1、请说明为什么用归纳法证明时，“首先，验证初始值1≤n≤15时四色定理成立”呢？什么又是“初始值”呢？
2、“Q的邻国两两相邻的组数是五”这句话是什么意思？
3、三个引理都是什么意思？
4、“区块换色”与用地图的对偶图证明时的“肯普链换色”有什么不同呢？我认为是完全相同的一回事。
5、实际地图中的多国丰交于一点的情形，是可以处理的，最后一定仍是四种颜色；有一国多地的情况的地图，因为一国多地的各飞地与本土是不相邻，完全可以用相同的颜色，但由于地图与国间的相邻关系的复杂性，可能有些有一国多地的国家的地图是要用到大于四种的颜色的；地图中还有海洋这样的单独区域，既不是一个国家，又不是那个国家的飞地，只得单独再用一种颜色。这样实际的地球地图着色时，一定可能会用到大于四种的颜色。

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摘自360百科
第二数学归纳法
对于某个与自然数有关的命题P(n)，

（1）验证n=n0时P(n)成立；（笔者注：这一步就是验证初始值。为了某种需要，初始值也可验证1≤n≤n0）

（2）假设n0≤n≤k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。