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楼主: 王守恩

在三角形 ABC 内部找一点 P,使三个三角形 PAB, PBC, PCA 周长相等

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 楼主| 发表于 2019-11-5 19:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-11-5 19:52 编辑
ataorj 发表于 2019-11-5 18:02
如果是多个点甚至是线,主题用软件是容易做出轨迹的,但,常不是几何方法,因为常不是规则的有限步骤的可画 ...


利用三角函数解题三部曲。
1,先找角度。
∠CAB=A°,∠ABC=B°,∠BCA=C°
∠PAB=K°,∠PAC=A°-K°,
2,再找长度。
BC=sinA,CA=sinB,AB=sinC
PA=x,PB=y,PC=z
y^2=x^2+(sinC)^2-2*x*sinC*cosK      (1)
Z^2=x^2+(sinB)^2-2*x*sinB*cos(A-K)  (2)
3,根据周长相等解题。
sinB+x+z=sinA+y+z=sinC+x+y   (3)
由第1个等号得:x+sinB-sinA=y   把 y 换成(1)
x=(sinC+sinB-sinA)(sinC-sinB+sinA)/(2(sinB-sinA+sinC*cosK))
由第2个等号得:x+sinC-sinA=z   把 z 换成(2)
x=(sinB+sinC-sinA)(sinB-sinC+sinA)/(2(sinC-sinA+sinB*cos(A-K)))
即:
(sinC+sinB-sinA)(sinC-sinB+sinA)/(2(sinB-sinA+sinC*cosK))=(sinB+sinC-sinA)(sinB-sinC+sinA)/(2(sinC-sinA+sinB*cos(A-K)))=x  
由第1个等号解得:K°,(A-K)°
由第2个等号解得:x=(长度)
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