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在三角形 ABC 内部找一点 P,使三个三角形 PAB, PBC, PCA 周长相等

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发表于 2019-10-30 19:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-10-30 21:24 编辑

在三角形 ABC 内部找一点 P,使三个三角形 PAB, PBC, PCA 周长相等。
发表于 2019-10-30 21:40 | 显示全部楼层
:lol:lol画图
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发表于 2019-11-2 08:41 | 显示全部楼层
三边长a,b,c对应同名顶点,对应P到的相应顶点的距离x,y,z,有:

示意:(两个a连接表示a.   b,c同)
   ac
    y
   z x
ab bc

a+y+z=b+z+x=c+x+y,即方程组:
a+y=b+x  (1)
a+z=c+x  (2)
b+z=c+y  (3)

(1)+(3),得:
a+z=c+x,与(2)同,无法再次消元,可见是不定方程,有无数解。
比如,先ABC内任意指定一点Q,让QA做x长度,由(1)可得y; 由(2)可得z
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发表于 2019-11-2 09:42 | 显示全部楼层
其实拆分成三个方程不妥当,因为本质上就只是两个方程,却又是三元,所以是不定方程组,有无数解。
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发表于 2019-11-2 11:07 | 显示全部楼层
我这解答是错的。。。
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发表于 2019-11-3 05:16 | 显示全部楼层
三角形特殊二次曲线001.jpg

有可能是椭圆:
三角形特殊二次曲线002.jpg

也有可能是双曲线:
三角形特殊二次曲线003.jpg

点评

谢谢 Ysu2008!如果是直角,会简单一点吗?  发表于 2019-11-3 05:37
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发表于 2019-11-3 06:32 | 显示全部楼层
三角形特殊二次曲线004.jpg
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发表于 2019-11-3 23:24 | 显示全部楼层
在直角三角形 ABC中, 边长: a=3cm,b=4cm, c=5cm 。 找一点 P,使三个三角形 PAB, PBC, PCA 周长相等 ,求P点轨迹。
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发表于 2019-11-4 10:22 | 显示全部楼层
直角三角形的解答
QQ图片20191104103326.png
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发表于 2019-11-5 18:02 | 显示全部楼层
如果是多个点甚至是线,主题用软件是容易做出轨迹的,但,常不是几何方法,因为常不是规则的有限步骤的可画方法,比如描点本身就是近似而非正确。
先把题目中的“三边”改为“二边”,画板软件可做出其轨迹,两个这种轨迹的交点轨迹就是题目的目标点。
两边时的轨迹很简单,从长边外延伸点不断移动延伸,相应在另一边做出等腰样子,其间,延伸部分直到腰脚做为半径,腰脚为圆心做圆,两圆交点就是轨迹。
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