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浅谈敢峰雷明张彧典三人对四色猜测的证明

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发表于 2019-10-14 09:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

浅谈敢峰雷明张彧典三人对四色猜测的证明
雷  明
(二○一九年十月十三日)

历史上坎泊对四色猜测的证明中遗漏了一种含有双环交叉链的不可免构形,后来赫渥特构造出了这种构形的图,对坎泊证明的方法进行了否定。虽然如此,但对于坎泊已证明过的构形来说,四色猜测还是正确的。现在我们只说这三人对具有双环交叉链的构形的证明。
1、敢峰先生的证明:
敢峰先生从一个具有双环交叉链的最基本的图开始,采用大演绎的方法,使构形不断的转型(即构形峰点与两个同色顶点的位置和颜色都发生变化),独立的构造出了埃雷拉图(该图1921年已由埃雷拉给出,但敢峰先生并不知有此图),敢峰先生把它叫做终极图。其操作原理是:从一个同色顶点开始交换与其对角顶点的颜色所构成的色链,使BAB型的有双环交叉链的构形转型为DCD型的只有一条连通链(单环)的可解的坎泊构形;但他不去急于求成的去解决它,而是再构造转型后的DCD型构形中的另一条连通链,使构形再次成为有双环交叉链的构形;然后再对这个含有双环交叉链的构形进行与上次转型同方向的转型,又得到只有单环的可解构形,再构造双环交叉链,再成为有双环交叉链的构形。就这样连续的进行十五次演绎后,构造成了DCD型的终极图,再继续的演绎,在二十次演绎后,转化成了BAB形的终极图。
从第十五次演绎后,再继续演绎时,就出现了以20次演绎为周期的无穷周期限循环的转型了,永远也不可能出现只有单环的可解构形了。但从第十五次演绎后的图开始,各次演绎的图中都含有经过了构形的两个或三个围栏顶点的环形链。敢峰先生交换该环形链内、外的任一条相反色链,都可以使构形变成不含有双环交叉的可解的坎泊构形,使得终极图最终得到解决。这一方法不仅只是对于终极图适用,而且对于只要是含有经过了构形围栏顶点的环形链的构形来说,都是适用的。
现在的问题是,不含有经过构形围栏顶点的环形链的双环交叉链的构形,在演绎过程中没有体现出来,敢峰先生也没有说明这种情况下的构形该如何的去进行解决。而只说了这种情况是在演过程中被扬弃了的可解构形。但我们发现,敢峰先生在演绎过程中所扬弃的构形中,除了只有单环的构形外,还有几个(如第7次,第9次,第11次,第12次,第13次以及第15次的图)都是含有双环交叉链的构形,也属于不可解的构形。但张先生却没有说明这一点。
我们对这几个被张先生扬弃了的不可解的含有双环交叉链的构形分别进行了两个方向的有限次的连续转形,发现最后都是可以得到只有单环的可解构形的。说明这几个构形都是可解的。但问题在于这几个构形也不能代表全体呀!要说明所有的这一类构形都是可解的构形,一定要有一个转型次数的上界来进行约束,来说明这样的转型次数真是“有限的”,否则是不能证明四色猜测是是否正确的。
敢峰先生虽然没有明显的说出要对不可免构形要进行分类,但实际上他已经对构形进行了分类:即有经过构形围栏顶点的环形链的是一类,无经过构形围栏顶点的环形链的是一类,共两类。前一类问题已经解决,后一类的问题还没有解决。
2、张彧典先生的证明:
张先生在从英国的米勒的来信中看到埃雷拉图的无穷周期循环转型现象后,也独立的用与敢峰先生相同的方法解决了该图的4—着色问题。张先生把这一解决方法叫Z—换色程序。因此,张先生把具有双环交叉链的构形分为两类:一是埃雷拉图类构形,包括埃雷拉图和在埃雷拉图中增加了某些四色构件但仍属于埃雷拉图一类构形的构形,都用Z—换色程序进行解决;二是非埃雷拉图类的构形,用米勒创造的连续转型法进行解决,张先生叫做赫渥特颠倒法或H—换色程序。张先生前段只提出了后一类构形的颠倒次数是“有限次”的,并没有一个具体的值,最近才明确的提出了是40次,但没有说明为什么是40次。
3、雷明先生的证明:
雷明先生对构形的分类与埃雷拉图没有关系,一开始就根据赫渥特图,把构形分成了有经过构形围栏顶点的环形链的构形和无经过构形围栏顶点的环形链的构形两大类。赫渥特图和埃雷拉图都有经过了构形围栏顶点的环形链,都是属于有环形链的构形。前一类构形解决时采用交换环形链内、外的任一条相反色链的方法,使构形变成不含双环交叉链的可解的坎泊构形,该方法雷明先生叫做断链交换法;后一类构形也用连续转型法进行解决,但雷先生证明了转型次数的上界值这一问题,这个证明是因埃雷拉图的无穷周期循环转型的循环周期是20而帮了大忙,埃雷拉图在这时派上了大的用场。
其证明原理是这样的:一个构形在进行连续的转型时,转型次数达不到两个周期(即40次转型)时,是不能确定其是否是无穷周期循环转型的构形的,而只有达到了40次以上时,才能确定其为无穷周期循环转型的构形。为什么要达到40次,可以看一看埃雷拉图分别向两个方向的连续转形,在两个20次转型之间的确是存在着41个有双环交叉链的构形的,两个第20次转型所得的构形在向相反方向转型时,不就是需要40转型吗?
非埃雷拉图类的构形的连续转型次数一定是有限的,是不可能超过40次的,否则就不是非埃雷拉图类构形而成了埃雷拉图类构形了。转型的最后一次所得的有双环交叉链的构形一定是一个可以连续的移去两个同色的构形,再经过两次关于空出颜色的交换,即可空出颜色给待着色顶点。所以最大的交换次数是42次。
这就证明了转型交换的最大次数是不大于42次的。
4、三人的认识有统一的必要:
只要四色猜测能被证明是正确的,至于那个人把某种现象叫什么名称都是无所谓的,只是一个符号而已。为了顾及三个人的认识,可以把有双环交叉链的构形分为三种类型:一类就是埃雷拉图类构形,二类是非埃雷拉图类的有环形链类构形,三类是非埃雷拉图类的无环形链类构形。
解决埃雷拉图类构形时,用雷明的断链交换法或张先生的Z—换色程序,Z—换色程序就是断链交换法,敢峰先生也是用的这种方法;解决非埃雷拉图类的有环形链类构形时,用雷明的断链交换法或张先生的H—换色程序,敢峰先生用的也是断链交换法;解决非埃雷拉图类的无环形链类构形时,用连续转型法或H—换色程序(也叫赫渥特颠倒法),H—换色程序就是连续转形法,敢峰先生所扬弃了的可解构形也是用的这种方法。三个人对有双环交叉链的构形的分类和解决办法到此就可以统一了。
现在,剩下的问题就是要证明一个解决非埃雷拉图类的无环形链类构形的连续转型次数的上界值。雷明的证明在上面已经说过了,现在就看敢峰先生和张彧典先生是否也认为有必要要证明这个上界值问题了。如果同意这一观点,就看是否同意雷明的证明方法问题了。如果不同意,还可以提出自已的证明方法。

雷  明
二○一九年十月十三日于长安

注:此文已于二○一九年十月十三日在《中国博士网》上发表过,网址是:
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