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小细节:牛顿莱布尼茨公式使用的前提

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发表于 2019-10-10 21:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-10-11 06:53 编辑

牛顿莱布尼茨公式使用的前提:是由原积分所求得的原函数在积分区间内必须连续。

可书上怎么没说,请看红线部分

书上只说被积函数连续且原函数存在,然而并没说原函数连续问题


QQ截图20191010213958.jpg
 楼主| 发表于 2019-10-10 21:58 | 显示全部楼层
由图像我们知道:1、被积函数在[0,2π]内连续,2、原函数arctan(√3tanx)在[0,2π]内不连续且有间断点π/2,3π/2
QQ截图20191010212847.jpg
QQ截图20191010214144.jpg
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 楼主| 发表于 2019-10-10 22:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2019-10-10 23:08 编辑

由于原函数在积分区间内不连续,所以不能直接用牛莱公式,故而分区间讨论,所以高数书上那个普通公式还是可以的,不过下面这个分析是错的,它不能整体直接代入公式,而要分区间讨论
f4fa30adcbef760918e2b69921dda3cc7dd99edd.jpg
QQ截图20191010231810.jpg
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发表于 2019-10-11 20:33 | 显示全部楼层
求定积分∫(0,2π)dθ/[2(cosθ)^2/3 2(sinθ)^2](续)-1.GIF
求定积分∫(0,2π)dθ/[2(cosθ)^2/3 2(sinθ)^2](续)-2.GIF

求定积分∫(0,2π)dθ/[2(cosθ)^2/3 2(sinθ)^2](续).rar (51.89 KB, 下载次数: 1)
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 楼主| 发表于 2019-10-11 20:47 | 显示全部楼层

陆老师晚上好!

小细节加疑问:被积函数在积分区间内连续,加之所求的原函数在整体积分区间内不连续,又加之所求的原函数在积分区间的某一段内是连续的,如果我们不换积分公式,就用红圈部分这个普通公式,该怎么解决???
还有修补的方法了吗
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 楼主| 发表于 2019-10-11 21:43 | 显示全部楼层
对于原函数在被积区间内不连续,我们能不能用分段函数表示,此法可行吗,求解
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发表于 2019-10-11 22:14 | 显示全部楼层
条件 F '(x)=f(x) 中就包含了 F(x) 连续的条件。
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 楼主| 发表于 2019-10-11 22:26 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2019-10-11 22:14
条件 F '(x)=f(x) 中就包含了 F(x) 连续的条件。

对,可导一定连续!因为 F '(x)=f(x),所以F(x)必连续,虽然书中没有明说,但是我们可以逻辑推理可得。

紧接着,连续并不一定可导。没毛病!
000453qcp77yn111rpfpcc.jpg
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 楼主| 发表于 2019-10-11 22:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2019-10-11 22:35 编辑
luyuanhong 发表于 2019-10-11 22:14
条件 F '(x)=f(x) 中就包含了 F(x) 连续的条件。


另外:对于原函数在被积区间内不连续,我们能不能用分段函数表示,此法可行吗,求解???????
QQ截图20191011224408.jpg
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