四色猜测的最简单证明

雷明85639720

四色猜测的最简单证明
雷  明
（二○一九年十月八日）

现在证明四色猜测主要是要证明坎泊证明中所遗漏了的具有“双环交叉链”的5—轮构形能否可约的问题了。所谓“环”就是构形围栏顶点的某条连通的对角链与待着色顶点组成的闭合回路。有人把这种构形也叫做“染色困局构形”，我看是很合适的。解决该类构形的能否可约，就是看能否从围栏顶点所点用的颜色中空出一种给待着色顶点。
1、染色困局构形的特点
用一个BAB型的5—轮构形来说明。5个围栏顶点在占用了A、B、C、D四种上颜色的情况下，一定是有两个顶点用了同一种颜色的，这就是B。“双环”就是A—C和A—D两条链通链，连通链不能交换，所以也就不空不出A、C、D三色之一；B—C链和B—D链虽各不连通，但交换了一个后，便会新生成从另一个B色顶点到其对角顶点的连通链，也不能连续的移去两个B。四种颜色都不能空出，这就表现出了染色困局的局面。
2、染色困局构形的分类
A—C链，A—D链，B—C链和B—D链都不能交换，那么只能考虑交换A—B链和C—D链了。这两种链正好是一对相反链，是不能相互穿过的。有一种是环形链时，另一种一定是被这个“环”分隔成不连通的两部分，交换了一部分链时，才不会使另一部分链的颜色也跟着改变。据此，我们就可以把染色困局构形分成有经过构形围栏顶点的环形链的构形和无经过构形围栏顶点的环形链的构形两大类。图1至图3是有环形链的构形，图4是无环形链的构形。


无环形链的构形还有一种与图４的构形是左右正好相反排列的构形，这里就不再画图了。
3、各类染色困局的可约性
对于有环形链的构形，从图1至图3可以看出，只要交换了环形链之外经过构形围栏顶点的与环形链呈相反链的色链，原来的双环交叉链就会变得不连通，构形就会转化成非染色困局构形，这时就可以使用坎泊的颜色交换技术，从构形围栏顶点中空出一种颜色来。由于这一方法是以破坏原来的双环交叉链为目标的，所以叫做断链交换法。
对于无环形链的构形，由于可交换的A—B链和C—D链都是直链，且都只是一条，也不能进行交换，就是交换了不起任何作用。所以只能先交换B—C链或B—D链中的一种，使构形转型了。看转型后的CDC型构形或DCD型构形是否是可约的，否则再进行同一方向的连续转型，直到构形变成可约的构形为止。请注意，在转型的交换过程中，如果遇到了那次交换后的图，变成了有环形链的构形，则要及时的改用断链交换法，以尽早的结束转型过程。
4、连续转型交换的最大交换次数
连续转型是否一定能得到可约的构形呢，是否存在永远也得不到可约构形的无环形链的构形呢？这都是有可能的。1921年埃雷拉给出的埃雷拉图就是一个无穷连续转型也不能转化成可约构形的构形（如图5）。但这个图的转型产物有这么一个特点，即是无穷周期循环的，每20次转型是一个周期。这就为确定无环形链的构形的最大转型次数创造了条件。

如何判断一个构形是否是无穷周期循环转型的构形，至少要进行两个周期（即40次转型）的转型交换，才能确定。转型交换40次，仍不能得到可约构形时，该构形一定是无穷周期循环转型的构形；否则，即就是转型次数超过了一个周期，也不能说这个构形就是无穷周期转型的构形。所以说无环形链的构形最大的转型次数是40，这时的构形是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，再经过两次坎泊交换，就可以空出颜色给待着色顶点，所以最大的交换次数是42次。这就说明了任何无环形链的构形都是可约的。
现在要问，埃雷拉图是否可约呢？是可约的。因为这个图又是一个有环形链的构形，交换经过围栏顶点5C和4D的C—D链，就可以使图成为可约的坎泊构形。
至此，所有的染色困局就都是可约的了，应该说四色猜测就是正确的了。

雷  明
二○一九年十月八日于长安

注：此文已于二○一九年十月八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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