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求下列微分方程的通解:y '-y/x=0

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发表于 2019-9-30 17:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-30 18:46 编辑

求方程的通解,某些小细节与书上不一样
QQ截图20190930174846.jpg
发表于 2019-10-2 22:31 | 显示全部楼层
设 y 对某x 不为 0, 则因 y 可微, y 在 x 的某领域不为 0, 在这区间有 y'/y = 1/x, ln y = ln cx,  y = cx.

若 y 对 x 的一切值均为零, 则 y = 0x, 故所求通解是  y = cx,  c 为任意常数.
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 楼主| 发表于 2019-10-3 15:58 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-10-2 22:31
设 y 对某x 不为 0, 则因 y 可微, y 在 x 的某领域不为 0, 在这区间有 y'/y = 1/x, ln y = ln cx,  y = cx. ...


e老师好,请看红圈部分,为什么积分后是lnc而不是常数c???????
0.jpg
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发表于 2019-10-3 18:13 | 显示全部楼层
前面积分得到的式子 ln|y|=ln|x|+c 中的常数 c ,

与后面式子 y=Cx 中的常数 C ,不是同一个数。

从 y=±xe^c=Cx 可以看出: C=±e^c 。
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 楼主| 发表于 2019-10-3 18:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2019-10-3 21:36 编辑
luyuanhong 发表于 2019-10-3 18:13
前面积分得到的式子 ln|y|=ln|x|+c 中的常数 c ,

与后面式子 y=Cx 中的常数 C ,不是同一个数。


请看红字部分,为什么一开始就写成lny=lnx+lnc这种形式而不是写成ln|y|=ln|x|+c,可一般情况下我们就写成ln|y|=ln|x|+c,可书上不是

陆老师可否分析一二
QQ截图20191003190053.jpg
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发表于 2019-10-3 20:31 | 显示全部楼层
这本书上写成 lny=lnx+lnC 是不对的。

y=Cx 中的 C 也不一定要大于零,小于等于零都是可以的。

点评

我也是这么想的  发表于 2019-10-3 21:25
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 楼主| 发表于 2019-10-3 21:22 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2019-10-3 20:31
这本书上写成 lny=lnx+lnC 是不对的。

y=Cx 中的 C 也不一定要大于零,小于等于零都是可以的。

陆老师好,是这本书
1.jpg
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 楼主| 发表于 2019-10-3 21:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2019-10-3 21:34 编辑

陆老师好,请看本楼红圈部分,显然e老师积分后写成  ln y = ln cx  这不默认了它的前一步就是:lny=lnx+lnc,c>0。这与候老师的书是一致的
1.jpg
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 楼主| 发表于 2019-10-3 21:31 | 显示全部楼层
我个人认为积分后写成:ln|y|=ln|x|+c是合理的,不知道对不对,还望指正
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发表于 2019-10-3 22:54 | 显示全部楼层
任何常数 C 都是另一个常数 c 的对数: C = ln c.
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