ABCD 中，AC⊥BD，BC 垂线 BE 交 AD 于 E，DC 垂线 DF 交 AB 于 F，证：ΔBCE～ΔDCF

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如图，四边形ABCD中，AC垂直于BD，过B垂直于BC的直线交直线AD于E，过D垂直于DC的直线交直线AB于F。
求证：三角形BCE相似于三角形DCF。

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不知道为什么，我家里的网络联结数学中国网特别慢，以至于不能操作。这是在单位的电脑连接就可以和网友交流。十一长假，出个难题在这里，等长假回来再和同好交流解法。

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要用纯几何证明这个问题，先要了解一下射影几何的知识，如下图，L1、L2是平面上任意两条直线，（A，1，2，3，4，5……），（B，1，2，3，4，5……）分别是其上射影对应的点列。于是A（B，1，2，3，4，5……）及B（A，1，2，3，4，5……）是两射影对应的线束，由于存在自对应的关系（即AB、BA是同一条直线）所以两线束中对应直线的交点（AB与BA的交点取极限值）在同一直线上（图上粗线）。

这有点象帕普斯定理。

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证明第一步：考虑过A和过B的两定直线，过A与A线垂直的直线交B线于E，过B与B线垂直的直线交A线于D。这两条垂线相交于C点。由直角三角形相似，容易证明 AD/BE=AC/BC.

通过A点向B线作线束AE(i)，过B点向A线作线束BD(i)，其中D(i)是直线AD上的点列，E(i)是直线BE上的点列。使 AD(i)/BE(i)=AC/BC, 其中AB与BA自对应，根据上一贴的结论，两线束交于一条直线。现在证明这条直线垂直于AB。选择D(i)趋向无穷远点，则E(i)也趋向无穷远点。此时AD(i)平行于BE，BE(i)平行于AD，此时这两线交于H点。由前设条件，可知 AH垂直于BC，BH垂直于AC，即得H是三角形ABC的垂心，于是得 CH 垂直于AB。而C和H正是这两线束所交直线上的两点。

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证明：如原图；由平面上过一点垂直于已知直线的垂线的唯一性，即知直线CA为符合上帖性质的BD之垂线。A在此垂线上，E、F为对应点列上的点，当然符合BE/DF=BC/CD性质，又有角B=角D=90度，于是三角形BCE相似于三角形DCF。