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ABCD 中,AC⊥BD,BC 垂线 BE 交 AD 于 E,DC 垂线 DF 交 AB 于 F,证:ΔBCE~ΔDCF

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发表于 2019-9-29 18:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-30 07:05 编辑

如图,四边形ABCD中,AC垂直于BD,过B垂直于BC的直线交直线AD于E,过D垂直于DC的直线交直线AB于F。
求证:三角形BCE相似于三角形DCF。
无标题.png
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不知道为什么,我家里的网络联结数学中国网特别慢,以至于不能操作。这是在单位的电脑连接就可以和网友交流。十一长假,出个难题在这里,等长假回来再和同好交流解法。
 楼主| 发表于 2019-10-9 09:09 | 显示全部楼层
要用纯几何证明这个问题,先要了解一下射影几何的知识,如下图,L1、L2是平面上任意两条直线,(A,1,2,3,4,5……),(B,1,2,3,4,5……)分别是其上射影对应的点列。于是A(B,1,2,3,4,5……)及B(A,1,2,3,4,5……)是两射影对应的线束,由于存在自对应的关系(即AB、BA是同一条直线)所以两线束中对应直线的交点(AB与BA的交点取极限值)在同一直线上(图上粗线)。
预备.png
这有点象帕普斯定理。
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 楼主| 发表于 2019-10-11 19:27 | 显示全部楼层
证明第一步:考虑过A和过B的两定直线,过A与A线垂直的直线交B线于E,过B与B线垂直的直线交A线于D。这两条垂线相交于C点。由直角三角形相似,容易证明 AD/BE=AC/BC.
1.jpg
通过A点向B线作线束AE(i),过B点向A线作线束BD(i),其中D(i)是直线AD上的点列,E(i)是直线BE上的点列。使 AD(i)/BE(i)=AC/BC, 其中AB与BA自对应,根据上一贴的结论,两线束交于一条直线。现在证明这条直线垂直于AB。选择D(i)趋向无穷远点,则E(i)也趋向无穷远点。此时AD(i)平行于BE,BE(i)平行于AD,此时这两线交于H点。由前设条件,可知 AH垂直于BC,BH垂直于AC,即得H是三角形ABC的垂心,于是得 CH 垂直于AB。而C和H正是这两线束所交直线上的两点。
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 楼主| 发表于 2019-10-14 09:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 ccmmjj 于 2019-10-14 01:36 编辑

证明:如原图;由平面上过一点垂直于已知直线的垂线的唯一性,即知直线CA为符合上帖性质的BD之垂线。A在此垂线上,E、F为对应点列上的点,当然符合BE/DF=BC/CD性质,又有角B=角D=90度,于是三角形BCE相似于三角形DCF。
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