初等几何的理想与实践

jzkyllcjl

初等几何中的术语点、直线平面、射线、平行线都需要提出近似与理想相互依存的辩证概念；其中欧几里得平行线是近似平行线广义极限的理想事物；近似平行线被第三直线截得的筒旁内角和与平角有微小差别，当这个差趋向于0时的极限情形叫做理想平行线；理想平行线被第三条直线截得的同旁内角和绝对准等于平角 [14]。这样一来，三角形三内角和为平角的定理，勾股定理都是具有广义极限性质的理想性质的定理；三角函数是以下述实数理想性有关的事物，所以根据三边长使用三角函数算出的三内角和与直角有微小差别是正常现象；球面几何是需要提出的，但球面上的大圆（或称短程线）不是直线，把它看作直线时，欧氏几何的定理不成立，也可以提出伪球面几何学，这种几何学是把伪球面上短程线作为直线的几何学，这时欧氏几何的定理也是不成立的；虽然球面几何、伪球面几何，都可以在欧氏几何下给与近似解释，但欧氏几何定理的极限意义的理想性也是首先需要肯定的；因此内蕴几何理论中黎曼空间的无限邻近点的距离表达式是完全应当提出的（这里蕴含着平面与曲面之间相互依赖关系）。现行初等几何中的许多定义、定理都需要在理想与现实、无限与有限、精确与近似相互依赖，相互补充的法则下去理解。