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本帖最后由 luyuanhong 于 2019-8-28 13:04 编辑
贸易战没压垮中国,数学教育的下滑会导致灾难 ——失数学者失天下
失数学者失天下。我国目前大多数中学的数学教材,是有史以来最差的,而且在质量上直追美国垃圾教材。比美国更严重的一点是,中国的教育有极强的垄断性,有了“课标”以后就会“严禁超纲”。美国至少还有精英教育的通道可以培养人才,而在中国却无路可走。
撰文 | 其故
1 社会发展对于提高公民数学素质的需求
现代社会中的很多工作需要数学,但大多数不是数学家做,而是由非数学专业但具有合格数学素质的人做。因此,公民的数学素质是综合国力的一个重要因素。很多科学发达的国家对公民的数学素质都很重视(参看 [9, 14, 18] )。
那么,怎样的数学素质才算合格呢?那要看工作领域。举例说,一个农村青年到城里打工做家装,开始时是在工头的指挥下工作并学习技术,用不到很多或较深的数学。但如果他有合格的小学数学素质,不久就会看到经常有需要用到数学的工作,例如计算墙面和地面面积,进一步计算需要多少材料,估计费用等等,自己也可以做,这样就可以自觉地提高工作能力,从而成为骨干工人。如果他的中学数学素质也合格,那就还可以做需要更深的数学的工作,如测量、管道与电路布线、施工设计与绘图等等,数学素质更好的甚至可以设法节省材料,为客户节约经费,那么他就可以自己成立一个包工队,而且得到客户的信任。这样的案例很常见。
多年前曹策问教授给小学生讲的“乾隆数塔”的故事,也是数学素质的一个精彩案例。少林寺塔林大大小小的塔非常多,很难数清,乾隆皇帝想了一个巧妙的方法,就是让他的御林军士兵每人抱住一个塔,等所有塔都被抱住后,再将所有抱塔的士兵集合起来点人数,这样很容易就数出了塔的个数。
就数学原理而言,乾隆数塔用的是“一一对应”,简言之,两个能一一对应的有限集具有相同的元素个数。由于直接数塔很困难,而数士兵却很容易,这样就把一个难题转化为一个容易的问题了。
一一对应的原理,好的小学生也能弄懂,但很多高中生都还没弄懂。
那么,对于更深的数学是否也有数学素质的需求呢?较高的技术工作一般都需要大学以上数学素质达标,对于这些工作有所了解的人都不难看到。即使没学过较深数学的人,从下面这个例子也能体会到数学素质的重要作用。
城市里的地铁一般是双线,一个站台有两个不同方向的同一线路地铁,但有例外。在下图中可以看到北京地铁的4号线和9号线,它们在国家图书馆站交汇,4号线由北向东南,9号线由国家图书馆站始发向南。在国家图书馆换乘站,4号线向北方向的车与9号线的终点站在同一个站台,而4号线向东南方向的车与9号线的起点站在同一个站台。为什么要采取这样不同常例的设计呢?
乘9号线到终点换乘的乘客,大多数是转乘4号线向北,因为若要转乘4号线向东南,多半是绕远路,不如直接从南方过去;而乘4号线到国家图书馆站转乘的乘客,多半来自北方,因为来自东南方向的乘客可以在南方换乘。这样的设计,使得大部分换乘乘客不必换站台,给这些乘客多了方便,但并没有给其他乘
客增加不便;另一方面,由于减少了乘客换站台,降低了站内乘客流量,提高了效率、可靠性和安全性。
如果设计者采用通常的安排(即4号线两个方向在同一站台,9号线起点和终点在同一站台),也不能说不合格。但上面这样的设计显然“更好”。这样的想法看上去很简单,但没有很好的数学素质是想不到的。在数学上这称为“优化”,这是运筹学的一个核心概念。
这些案例都说明好的数学素质对于工作水平和质量的积极意义。遗憾的是,经常看到数学素质不合格的情形。下面举几个网上看到的例子。
01
2009年,上海《新闻晚报》的一则报道说,市区高速公路将更换5000块路牌,总共耗费2亿元人民币。该消息使网上舆论大哗,因为用2亿除以5000计算出一块路牌要40000元,被称为“天价路牌”。有人更进一步追问其中的猫腻。
《新闻晚报》后来刊登了文章进行了解释:这5000块指路牌只是一小部分,其实只占所有更换量的五分之一。也就是总体要更换25000块各种路牌。所以,用2亿除以5000来计算出40000一块路牌“太过于草率”。然而这非但没有解决“天价”的问题(因为一块路牌8000元仍是太贵),反而又多出新的问题。有的网民经过计算得出:这么多路牌相当于在高速路上开车平均每秒钟遇到一块路牌,这当然就更荒唐了。
此事后来是不了了之,但可以作为数学素质差的一个典型案例。
02
2009年,某著名大学校长在接受采访时表示,素质要全面考量,一个所谓的高考状元的素质不一定比一个农村的孩子素质更高。“不能一谈到素质就是说唱歌好跳舞好,农村的孩子在比较弱势的群体中成长起来,他们更会知道尊重别人,会更能吃苦。”
很快就有网民指出:校长说话也犯逻辑错误。状元也可能是农村的孩子呀?(其实农村学生成为“高考状元”并不鲜见,在有些地方甚至很常见。)
03
2011年初,河南平顶山市法院以“诈骗368万元高速公路通行费”的罪名判处时建锋无期徒刑,剥夺政治权利终身,并处罚金200万元。此案经相关媒体报道后,网上舆论哗然,称之为“天价过路费案”。据报道,时建锋“骗免368万元”的时间总共不过8个月,每天一般只能运送一趟。如果过路费真的如此高,那实在太黑了。
此案后来被河南省高级法院发回重审,并对责任法官作出了处理。
04
某国总统上任伊始,要创造一些“政绩”。第一把火烧交通,说高速公路两个方向各有两条道,如果改划为三条道,不用花一分钱就可以将运力提高50% ,下面一阵吹捧,于是乎就实行了。结果可想而知,交通事故大增,于是又烧了第二把火,将两边都改回两条道。有趣的是,这又被吹捧成伟大的政绩,理由是:两条道改划为三条道提高运力 50% ,三条道改划为两条道降低运力不到34% ,两者相抵,50% - 34% = 16%,就是说至少净增运力16% ,一分钱没花。
05
特朗普不久前谈到将在朝鲜半岛阵亡的美军士兵遗骸运回国一事,说:在竞选期间,有成千上万的人要求我们这样做,他们告诉我,希望自己的儿子能被接回国。美国网民哄起来了:朝鲜战争是在1950年代初,即使那时一个士兵二十岁,他父母现在也有一百多岁了。
只要留心,这类数学笑话每天都可以在网上看到很多。
由此可见,数学素质并不只是对于专业人员的要求,对于普通公民都是需要的。
2 数学有用吗?
经常遇到很多人问的一个问题是:数学有什么用?某数学教授到中学讲课,校长要求他回答学生的问题:数学的用处难道就是刷题?教授忍着没说的话是:数学有很多用处,但你们所学的数学的用处就是刷题。
小学生做很多数学应用题,中学生却很少做甚至不做,当然也就越来越脱离应用。这不是数学的问题,而是教育的问题。还有一种常见的论调,说生活中只需要用到小学的数学,更深的数学没用。实际上现在大多数人学的数学都是很成熟的数学,只要学通了都很有用。五十年前根本听不到“数学有用吗?”这样的质疑,因为那时的中学数学教育没有今天这么脱离实际。中学生在数学的应用方面应该比小学生有更高的要求,不仅要会做应用题,而且要能够将实际工作中的问题转化为数学问题并予以解决,就是说要培养数学建模的能力。
华罗庚先生当年做数学普及报告,经常举日常生活中应用数学的生动例子。
由于经济的发展,当今数学在生活中的应用远超过五十年前,只是很多人视而不见。我们下面举一些经济生活中的例子,从中可以显示出数学素质即使在普通人的生活中也起着显著的作用。
例1.
甲乙两个公司招聘,甲公司采用年薪制(以一年为单位定工资标准),起薪(开始工作时的工资)为每年100000元,以后逐年增加,每次年薪增加6000元;
而乙公司采用半年薪制(以半年为单位定工资标准),起薪为每半年50000元,以后每半年增加一次,每次(半年薪) 增加2000元。哪个公司的条件更优惠呢?
很多人(可能是大多数人) 认为,两个公司的起薪标准是一样的,而乙公司每半年增加 2000 元,就是每年增加4000元,不如甲公司的每年6000元高。
但如果能根据两个公司的条件列出薪金公式,就得到甲公司第 n年的工资数为
100000+6000(n-1)
而乙公司第 n年的工资数为
100000+2000(4n-3)【编注:前半年为(2n-2),后半年为(2n-1),加起来是(4n-3)。】
再计算二者的差得到
[100000+2000(4n-3)]-[100000+6000(n-1)]=2000n
即乙公司第 n 年的工资数比甲公司高 2000n。
而初一代数没达标的人是做不到这些的。
例2.
经常到商店买东西就会看到,商店常用各种打折等优惠来吸引顾客。
例如,某商店采用“礼券”优惠,每购买100元的商品,该店赠送50元“礼券”,不足100元的部份略去不计(例如购买888元的商品可获赠400元的礼券)。
礼券的用法是:每购买100元的商品,可使用该店的50元礼券当作50元支付,不足100元的部份略去不计(例如你有足够多的礼券,那么购买560元的商品可使用250元的礼券,剩下的 560-250=310 元则要用现金支付,注意由于你付了310元现金,商店还要再赠送你150元的礼券)。
按这样的办法,顾客究竟能获得多少(相当于几折) 优惠呢?媒体宣传说相当于差不多五折优惠。如果中学数学学得好,可以自己推导出总的优惠至多接近(但小于)1/3 。要把这个问题完全搞清楚,需要用到一点微积分。
例3.
要买一台新电视机,买什么样的呢?一个有良好数学素质的人会这样作决定:在“量入为出”的范围内,尽可能寻找最喜欢的,或者在自己喜欢的电视机中,寻求价格最低的,这两种选择都是“优化”。前面说过,“优化”是运筹学的重要基本概念。
优化在经济生活中经常可以用到。例如一个新建的公园,要决定门票的价格,是尽量高还是尽量低,抑或“不高不低”?明智的决定方法是:首先确定一个目标,就是获得尽可能高的门票总收入,按照这个目标来确定门票价格。这就是价格“优化”的方法。遗憾的是有些公园没能这样做。
在国外的一些针对非理工科学生的微积分教科书中,常有这类问题的例子,如一个收费站如何订收费标准才能收尽可能多的费,一个工厂在给定的原料价格、工资标准和税收政策下如何获得最大的利润,等等。
例4.
古代“守株待兔”的故事说,一个偶然得到兔子的宋国人放下田里的活不做,成天专等兔子撞树,结果是“兔不可复得,而身为宋国笑”。
但嘲笑守株待兔的理由,不应是财迷或懒惰等,而应是愚蠢。那么守株待兔者愚蠢在什么地方呢?在于希望一个概率很小的事件重复发生。
像这样的小概率事件在生活中是经常遇到的,例如抽奖彩票,也许100万张里有一张奖一辆摩托车,那么一张彩票抽中摩托车的概率是0.000001。很多人都抽过某种奖,作为一种游戏玩玩也无妨,但不能“走火入魔”,成天除了抽奖什么别的工作也不做(如果抽奖也算一种“工作”的话),希望靠抽奖过日子,那就成了新时代的“守株待兔”了。
例5.
在当今这个“信息爆炸”的时代,一个人每天都会获得大量的信息,这些信息中总有很多错误的甚至假的,而鉴别信息的真假需要很好的数学素质。
例如前不久普遍流传的两条信息:一条说“培养一个飞行员需要几十吨黄金”,一条说“中国一户人家每月的网费最低要67美元(比美国高得多)”。这两条信息的造假手段都是“转换单位”,如果以人民币为单位是骗不了任何人的。反过来说,一个不会单位换算的人遇到这种谣言就容易被骗。
这类谣言可以称为“数学谣言”,其中主要(甚至唯一) 的造假处是“数”。遇到这样一个耸人听闻的标题时贸然点击阅读,即使不上当受骗至少也贡献了“点击率”,间接地帮助了谣言的传播。
例6.
有一类曾经很流行的集资组织俗称“老鼠会”,其规则一般是:每个人要交一笔“会费”才能参加,如果能发展10名新会员,就可以升一级并获得奖励(奖金当然来自新会员的会费),如果下一级的会员都升了一级,自己也就跟着又升一级并且得到更高的奖励。人们称老鼠会是“金字塔式”的:最高一级只有1个人,下一级有10个人,再下一级有100个人,等等。不久以后,在金字塔高层的人已经非常富有,这诱使越来越多的人参加,可是有一天,人们突然发现这个“老鼠会”倒闭了,所有新会员的会费都白交了,人们愤怒地追查金字塔顶端的人,可他们已经失踪了,于是人们到法院控告他们诈骗 ……这种故事屡见不鲜。
不过,如果这些金字塔顶端的人不携款潜逃,而是跟着人们上法庭,他们会被判有罪吗?他们可以为自己辩护说,他们的公司是合法注册的,规章是公开的,他们并没有违规,而集资本来就有风险,会员都是自愿参加,参加时也知道有风险并签了协议。现在破产受损失,公司没有责任。
这类集资支付利息的方法一般是“拆了东墙补西墙”,即用后来入会者交的钱给先前入会者支付利息。这就是所谓“庞氏骗局”。
如果有较好的数学素质,就有“指数速度”远快于“线性速度”的直观。遗憾的是很多人没有这样的数学素质,所以缺乏警惕。例如老鼠会的情形,假如每个会员每月发展10名新会员,那么一个月后会员人数增加到10倍,两个月后增加到100倍……由此立刻可以算出,10个月后会员将有100亿,超过地球上的人口总数!这显然是不可能的,实际上老鼠会的发展方式维持不了多久,一般在几个月到十几个月后就发展不下去了,这时就会破产。而老鼠会的任何广告或介绍中都不会说明这一点。所以这种集资方式本质上是“数学诈骗”。
上面这些例子足以说明,中学数学素质对经济生活有很大的影响。
而对于很多工作,尤其是科技领域的工作,数学素质的影响更大。
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