2 自然数的标准数列与无穷的唯物辩证法概念

jzkyllcjl

自然数无穷数列是人们 根据实践提出的 概念。 这个数列给出了表达任意现实集合元素个数的工具。 青山使用物理学的研究中的量子与宇宙两个名词，否定自然数数列的无穷性 不是唯物的，因为： 这个无穷性是自然数十进记数法 的本性。 至于， 时空量子 只是 爱因斯坦提出了修改时空概念与时空量子概念，他说道；“我们从未注意到时空量子的存在是可以理解的，它们简直太小了；任何计时器也不可能测量出那样短的时间，如一亿亿亿分之一秒。”这个一亿亿亿分之一就是足够小，爱因斯坦并没有给出量子的 确切大小；对于宇宙，物理学家 有膨胀学说。量子大小与宇宙大小 都是物理学 宇宙学研究的对象，我们不能轻易去限制它。无穷具有无有穷尽、无有终了的意义， 无穷不是定数，不算是正常数。
自然数的标准数列与无穷的唯物辩证法概念
虽然我们无法说清自然数的十进记数法是谁造的，但应当说它很有价值。根据这个方法，按照从小到大的顺序，可以得到下边的数列。
      0，1，2，3，…11,……                  （1）
这个数列叫做自然数的标准序列。这个序列可以说是人们很早就知道的，但是在研究自然数理论时，参照一百多年前皮亚诺（G. Peano）自然数公理体系，首先可以提出如下两条沟造自然数上数序列的公理（或称法则）。
    公理1：0 是自然数。
公理2：每一个自然数n都有一个唯一的n+1为它的继数，这个继数也是自然数。例如：0是自然数，0的继数是1，1是自然数，1的继数是2，2是自然数，2的继数是3；……。
公理3：表达式（1）的数列叫做无穷数列，
无穷数列这个名词是现行数学理论中已经有了的。但关于宇文上上的“无穷”这两个字的理解，在数学界存在着两千多年的争论。A.鲁宾逊在《费标准分析》第十章第7节中讲道：“如果我们忽略了它的哲学背景，就不能完全了解它的历史。……Zeno的悖论……。亚里士多德在他的许多著作中曾讨论过这个问题，他抛弃了实无限而接受了潜在的增长着的无限的概念，洛奇……，莱布尼茨……，贝克莱……。从柯西的看法到目前一般看法的转变，是极其巨大的，因为 条件可以很自然地用实无限的总体，即实数来解释。因此，许多人看来，无限性问题仍然是数理哲学的首要问题。……。康托儿和他的继承者在提出了非常严密而优美的无限集理论之后，认为他们终于掌握了实无限，正如二百年的洛必达以为在微积分中已经找到了它一样。直觉主义者和其他结构主义者的看法可以比作柯西的看法，而形式主义的精神，或者至少他的一个流派……的评价中，则接近莱布尼茨对无限小和无限大数的声明中所表示那种精神：‘它们只是一些虚构，但是有用的虚构……’。……”[6]。这些论述说明：关于无穷大、无穷小、等许多无穷的概念在数学历史与现代都存在着争论。
从自然数的上述标准序列，可以看到：它可以是按照自然数十进位记数法则得到的；皮亚诺（G. Peano）的五条公理都依赖于表达式（1）。与余元希《初等代数研究》中的自然数公理体系相比较，笔者不是在事先承认无穷集合的条件下提出这五条公理的。笔者还认为：任何其它无穷数列 ，都有它的制造法则 。其中n依次是标准无穷数列（1）中的自然数。无穷数列、无穷集合都不是上帝造的，而是人们从实践中经过抽象、思考提出的数学概念，它们的含义都有需要联系实践的现实给予说明、澄清。
现代的数学家，大都认为：形式逻辑法则是建立数学理论的根本法则，但是，只靠形式逻辑法则是无法建立数学理论的，事实上，康托儿在使用这些法则之前提出了“数学必须肯定实无穷”的思想，希尔伯特的《几何基础》在逻辑推导之前也是先提出了五组公理。不仅形式逻辑推理之前，需要联系实践提出一些公理、定义，还必须对这些公理‘定义、逻辑推理之后的定理进行实践应用过程中的检验与改革。对于无穷数列（1），及上述公理3之后对名词“无穷数列”的说明之外，笔者还提出了如下10点的继续说明。
①任何无穷序列都必须有一个通项的写出法则；②无穷序列既具有按照通项写出法则无限延续下去的性质，又具有永远写不到底，永远延续不不到底地的性质；这两个性质不是违反形式逻辑中矛盾律的坏矛盾，因为：无限延续是在时间无限延续情况下讲的，延续不到底是对任何有限时间讲的。这个矛盾是满足唯物辩证法下对立统一性质的“一切事物中包含着的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾，就无有世界”的好矛盾； ③自然数标准无穷数列（1）的元素都叫做有限自然数；自然数标准数列（1）的所有元素，即所有自然数是无有穷尽、无有终了、无有最后的；自然标准数列中的省略号，不是通常意义的省略，是补充不完的、写不到底的省略；④不存在能够写出的无穷大自然数，《非标准分析》提出的*N 中的无限大自然数，是人们无法用十进记数法写出的、违反阿基米德性质的无用的虚构；⑤由于所有自然数无法构造完毕，所以 “所有自然数”二字不能随便提出，事实上，笔者证明了“任意大自然数是能够被人们写出的自然数；全体（或称所有）自然数是人们无法写完的自然数集合”[7] 的定理；因此，涉及Peano 公理5（归纳公理）的数学归纳法，在命题p(n)的在奠基、归纳条件成立之后的结论，只能说对大于奠基自然数的任意自然数成立，而不能说对大于奠基自然数的所有（或一切）自然数成立。⑥关于无穷大，需要提出如下的定义。
定义1（(全能足够大数列与无穷大数)：若对任意足够大的区分界限 ，总有自然数 存在，使得 时， 成立，则称数列 为全能足够大数列。简称为全能足够大，它是绝对值无限变大的无穷数列；全能足够大也叫做动态性的、变量性的无穷大量、真实存在的真无穷大。上述全能足够大数列没有通常意义的极限，但为了研究问题方便起见，可以使用符号 （ ， ）表示其广义极限，称这种符号为非正常理想实数，并称它为理想正无穷大( 叫做理想负无穷大， 叫做理想无穷大)；同时称这种意义下的极限为相应数列的非正常极限。记作
   
理想正无穷大、理想负无穷大和理想无穷大；作为极限它们可以暂时地被叫做常量性无穷大，但在现实世界中除了“无所不包的大宇宙”之外，找不到它们的现实原型，它们都缺乏现实性；笔者同意希尔伯特计划中，“由于无穷不能在经验中直接验证，故希尔伯特称它为理想元素”的说法。此外，也可以称这种无穷大为假无穷大；它们都不能作为“有确定大小的正常的理想实数”。又由于，涉及这种无穷大的形式逻辑研究中，常常遇到无法解决的悖论、难题，所以又有恶无穷大的名词（例如：简明哲学辞典中无限与有限词条中讲道：“无限只能通过物质的有限形式，只能通过有限而存在。……这个概念也反映着物质世界中事物、现象、过程质的无限多样性，无限性是矛盾的，它包含着有限的全部多样性，但不是……，恶无限性就是指简单地不断超出有限的范围，例如简单的数字排列1+1+1+1+……”）。还须知道：虽然无穷数列 {n}、{10n} 的广义极限都是+∞；但这两个极限又可以被认为是不同的。这两个无穷数列都是变量性的真实存在的无穷大；其广义极限是趋向性质的、缺乏现实意义的，达不到的理想无穷大。
⑦在定义1之下，对于恶无限1+1+1+1+……可以使用无穷依赖于有穷的无穷级数理论去研究，即首先计算这个无法计算的无穷项和的前n项和得到变数性质的自然数n构成的无穷数列{n}，然后依据定义1，得到这个无穷级数的理想和为非正常理想实数 。由于这个数缺乏实践性，我们可以使用足够准近似分析的思想，使用足够大的可以用十进记数中的数表示其足够多项的和（即可以被人们写出的足够多个1的和）。我们的做法就是把非现实问题恶无限问题转化为现实的问题去解决。笔者已经否定了《非标准分析》中的无穷大自然数，但我们需要提出足够大自然数的概念，至于足够大自然数是多大的问题，可以根据问题的不同有不同的大小。例一，如果要问到撒哈拉沙漠的沙子个数是多少，就可以说它是足够大自然数，这个数不超过地球质量的四分之一被钙分子质量除得的商，其具体数字不需追求，有这个概念就行了；例二，在《量子力学史话》（黄宏荃 彭灏译，[苏]В.И.瑞德尼克著）274-278页中,为了解释测不准原理，爱因斯坦提出了修改时空概念与时空量子概念，他说道；“我们从未注意到时空量子的存在是可以理解的，它们简直太小了；任何计时器也不可能测量出那样短的时间，如一亿亿亿分之一秒。”这个一亿亿亿分之一就是足够小，一亿亿亿的自然数就是足够大自然数。使用这种足够小与足够大替代《非标准分析》中的无穷大数与无穷小数有着现实的意义；虽然时空量子的大小究竟是多少无法说，但这个概念是有用的，他解释了测不准原理；它提出了瞬时速度的一个需要的近似概念。⑧对于前述的一切概念，需要知道《简明哲学辞典》所说的“概念应当是可更改的，可修改的，灵活的，变动的，否则它就不能正确地反映现实”的辩证逻辑方法，前边一切论述都是一定使用场合。⑨无穷的概念已经说了很多，但根据唯物辩证法下的辩证逻辑的要求的“研究它的一切方面一切联系和‘中介’”不仅还差得远，而且是做不到的。我们还需要研究无穷集合与实数问题，因此就此结束，如果还有其它问题，或者前边的论述有问题，也只有本着数学理论需要不断前进的思想，留待以后解决。⑩根据我上边的“留待以后解决”的话，有人会抓着把柄说“哈哈，你自己就承认，你的理论不成熟了”对此，我的回答是：任何理论都需要在继续的实践、研究、应用过程中逐渐完善、逐渐成熟，绝对成熟需要过程。其次，从应用上讲：数学理论体系的相容性只能通过现实世界的相容性与它是研究与描述现实数量大小及其关系的过程逐步解决。

jzkyllcjl

1楼讲了自然数标准数列的来源与无穷数列的许多无穷的辩证性质。

jzkyllcjl

请青山、elim、谢芝灵探究1楼的意见。

elim

谢芝灵，青山是菜鸟混混，楼主是资深混混。统一行骗口径是你们的需要。不跟我汇报没有关系的。

denglongshan

没有行骗，言论自由。

红树

无穷大:无限的增加，无穷大的物体不存在，无穷大:组合数，不能独立

红树

无穷大:无限的增加，无穷大的物体不存在，无穷大:组合数，不能独立

红树

无穷大:组合数，不能独立，无穷小:分割数，不能独立

elim

标榜狗屁不通的胡扯为辩证唯物数学，就是行骗。是利用言论自由行骗。

这就是为什么 jzkyllcjl，青山只不过书著泡汤，未受到违法指控。

jzkyllcjl

红树说的对。康托儿提出“数学必须肯定实无限”，汪芳庭使用“实无限”这个名词提出“ω这个自然数集作为整体的无限集合是存在的”的方法去解释ZFC形式公理体系中“无穷集合存在公理”是有问题的，事实上，这个“实无限”名词的定语“实”字给人一个错觉，“好象这种解说是联系实践的，而Peano的说法不实在”。其实，自然数集合具有无法被人们构造完毕的性质；Peano的说法比ZFC形式公理的说法实在。关于无穷二字，王宪钧在他的《数理逻辑引论》301-304 页中讲到：“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的。潜无穷论者否定实无穷,认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的,无穷只是潜在的”[5]。从这个说明来看，实无限这个名词包含着“无限是完成了的整体”的意思，如果没有这个意思，那么无限集合应当是“存在着的没有被完成的，还在构造着的事物”。①任何无穷序列都必须有一个通项的写出法则；②无穷序列既具有按照通项写出法则无限延续下去的性质，又具有永远写不到底，永远延续不不到底地的性质；这两个性质不是违反形式逻辑中矛盾律的坏矛盾，因为：无限延续是在时间无限延续情况下讲的，延续不到底是对任何有限时间讲的。这个矛盾是满足唯物辩证法下对立统一性质的“一切事物中包含着的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾，就无有世界”的好矛盾； ③自然数标准无穷数列（1）中的元素都叫做有限自然数；自然数标准数列（1）的所有元素，即所有自然数是无有穷尽、无有终了、无有最后的；自然标准数列中的省略号，不是通常意义的省略，是补充不完的、写不到底的省略；④不存在能够写出的无穷大自然数，《非标准分析》提出的*N 中的无限大自然数，是人们无法用十进记数法写出的、违反阿基米德性质的无用的虚构；⑤由于所有自然数无法构造完毕，所以 “所有”自然数的所有二字不能随便提出，事实上，笔者证明了“任意大自然数是能够被人们写出的自然数；全体（或称所有）自然数是人们无法写完的自然数集合”[7] 的定理；因此，涉及Peano 公理5（归纳公理）的数学归纳法，在命题p(n)的在奠基、归纳条件成立之后的结论，只能说对大于奠基自然数的任意自然数成立，而不能说对大于奠基自然数的所有（或一切）自然数成立。
“无限只能通过物质的有限形式，只能通过有限而存在。……这个概念也反映着物质世界中事物、现象、过程质的无限多样性，无限性是矛盾的，它包含着有限的全部多样性，但不是有限事物的简单的和,……，恶无限性就是指简单地不断超出有限的范围，例如简单的数字排列1+1+1+1+……”）。还须知道：虽然无穷数列 {n}、{10n} 的广义极限都是+∞；但这两个极限又可以被认为是不同的。这两个无穷数列都是变量性的真实存在的无穷大；其广义极限是趋向性质的、缺乏现实意义的，达不到的理想无穷大。