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等边 ΔABC 中,AD,AE 为 ∠BAC 三等分线,F 为 AE 中点,BF 交 AD 于 G,求证:GD=DE

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发表于 2019-8-25 00:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-8-25 08:55 编辑

发现了一道好题,求解

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  • · 好貼|主题: 366, 订阅: 6
发表于 2019-8-25 09:46 | 显示全部楼层
DE/DB=AE/AB,DE/(sin40-DE)=sin60/sin80,可得DE
梅氏定理:GD*FA*BE/(GA*FE*BD)=1,   可得GD
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发表于 2019-8-31 15:34 | 显示全部楼层

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发表于 2019-8-31 19:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-8-31 20:01 编辑
王守恩 发表于 2019-8-25 09:46
DE/DB=AE/AB,DE/(sin40-DE)=sin60/sin80,可得DE
梅氏定理:GD*FA*BE/(GA*FE*BD)=1,   可得GD

设DB=sin20,AE=sin60,AB=sin100,
DE/DB=AE/AB,可得DE=sin20sin60/sin100
设FA=FE=sin60/2,BE=sin100-sin20,GA=sin60-GD,
梅氏定理:GD*FA*BE/(GA*FE*BD)=1,可得GD=sin20sin60/sin100
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发表于 2019-8-31 21:35 | 显示全部楼层
楼上 Future_maths 的解答很好!已收藏。
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发表于 2019-9-1 04:25 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-8-31 19:59
设DB=sin20,AE=sin60,AB=sin100,
DE/DB=AE/AB,可得DE=sin20sin60/sin100
设FA=FE=sin60/2,BE=sin1 ...


在ΔADE 中,DE=sin20,AE=AD=sin80,FA=FE=sin80/2
在ΔABE 中,AE=sin60sin80/sin60,BE=sin40sin80/sin60
在ΔABD 中,AD=sin60sin80/sin60,BD=sin20sin80/sin60
梅氏定理:GD*FA*BE/(GA*FE*BD)=1,可得GD=sin20
即:DE=GD=sin20

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发表于 2019-9-2 07:43 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-9-1 04:25
在ΔADE 中,DE=sin20,AE=AD=sin80,FA=FE=sin80/2
在ΔABE 中,AE=sin60sin80/sin60,BE=sin40sin80 ...

在ΔABE 中:
    ∠GAE=20,∠GBA=60-B,∠GEB=E,
    ∠GAB=20,∠GBE=B,     ∠GEA=80-E
正弦定理:
sin(20)sin(60-B)sin(E)/(sin(20)sin(B)sin(80-E))=1   (1)
角平分线定理:
  sin(60-B)sin(80)/(sin(B)sin(40))=1   (2)
(2)代入(1):
   sin(20)sin(40)sin(E)/(sin(20)sin(80)sin(80-E))=1
得E=50°  由50°=∠DEG=∠DGE,知DE=DG
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