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本帖最后由 discover 于 2019-8-21 00:43 编辑
Φ(m)函数
欧拉函数φ(m)
在数论,对正整数m,欧拉函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。
φ(m)= mΠ(1-1/p)(Π为连乘积符号,p为m的素因子)
Φ(m)函数
在数论,对偶数m(m≥6),函数Φ(m)是小于m的正奇数中q与m互质且q-2k或q+2k(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然,q<m,q-2k不一定为正整数或q+2k不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)(Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。
若m为奇数(m≥3),函数Φ(m)是小于m的正整数中q与m互质且q-k或q+k(k≥1)与m互质的正整数q的数目。
显然,q<m,q-k不一定为正整数或q+k不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=mΠ(1-2/p)(Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=mΠ(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=mΠ(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。
在数论,对偶数m(m≥6),函数Φ(m)也可表示小于m的正奇数中q与m互质且m+2k-q(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然,q<m,m+2k-q不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)(Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。
例如
1:m=30,2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3,
q不超过30与30互质的奇数对(q-2,q)个数为3,分别为:-1 1,11 13,17 19.
q不超过30与30互质的奇数对(q-4,q)个数为3,分别为: 7 11,13 17,19 23.
q不超过30与30互质的奇数对(q-8,q)个数为3,分别为: -7 1,-1 7,11 19 .
q不超过30与30互质的奇数对(q-16,q)个数为3,分别为: 1 17,7 23,13 29.
q不超过30与30互质的奇数对(q-32,q)个数为3,分别为:-31 1,-19 13,-13 19.
q不超过30与30互质的奇数对(q-64,q)个数为3,分别为:-53 11,-47 17,-41 23.
2k=2与2k=32,2k之差为30,q相同,分别为:1,13,19.
2k=4与2k=64,2k之差为60,q相同,分别为:11,17,23.
2:m=30,2k=6或2k=12或2k=24或2k=48或2k=3^N×2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=6,
q不超过30与30互质的奇数对(q-6,q)个数为6,分别为:1 7,7 13,13 19,11 17,17 23,23 29.
q不超过30与30互质的奇数对(q-12,q)个数为6,分别为:-11 1,1 13,7 19,17 29,-1 11 ,11 23.
q不超过30与30互质的奇数对(q-24,q)个数为6,分别为:-23 1,-17 7,-13 11,-11 13,-7 17,-1 23.
q不超过30与30互质的奇数对(q-48,q)个数为6,分别为:-47 1,-41 7,-37 11,-31 17,-29 19,-19 29.
3:m=30,2k=30或2k=60或2k为30的倍数,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=m/2Π(1-1/p)=φ(m)=8,
q不超过30与30互质的奇数对(q-30,q)个数为8,分别为:-29 1,-23 7,-19 11,-17 13,-13 17,-11 19,-7 23,-1 29.
q不超过30与30互质的奇数对(q-60,q)个数为8,分别为:-59 1,-53 7,-49 11,-47 13,-43 17,-41 19,-37 23,-31 29.
4:m=30,2k=14或2k=28或2k=56或2k=7^N×2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3,
q不超过30与30互质的奇数对(q-14,q)个数为3,分别为:-13 1,-7 7,-1 13.
q不超过30与30互质的奇数对(q-28,q)个数为3,分别为:1 29,-11 17,-17 11.
q不超过30与30互质的奇数对(q-56,q)个数为3,分别为:-49 7,-43 13,-37 19.
5:m=30,2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3,
q不超过30与30互质,30+2-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:1 ,13 ,19.
q不超过30与30互质,30+4-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:11 ,17 ,23.
q不超过30与30互质,30+8-q与30互质的奇数q个数为3,分别为: 1 , 7 ,19.
q不超过30与30互质,30+16-q与30互质的奇数q个数为3,分别为: 17 ,19 ,23.
q不超过30与30互质,30+32-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:1 ,13 ,19.
q不超过30与30互质,30+64-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:11 ,17 ,23.
2k=2与2k=32,2k之差为30,q相同,分别为:1 ,13 ,19.
2k=4与2k=64,2k之差为60,q相同,分别为:11 ,17 ,23.
6:m=30,2k=6或2k=12或2k=24或2k=48或2k=3^N×2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=6 ,
q不超过30与30互质,30+6-q与30互质的奇数q个数为6,分别为:7 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.
q不超过30与30互质,30+12-q与30互质的奇数q个数为6,分别为:1 ,11 ,13 ,19 ,23 ,29.
q不超过30与30互质,30+24-q与30互质的奇数q个数为6,分别为:1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,23.
q不超过30与30互质,30+48-q与30互质的奇数q个数为6,分别为:1 ,7 ,11 ,17 ,19 ,29.
7:m=30,2k=30或2k=60或2k为30的倍数,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=m/2Π(1-1/p)=φ(m)=8,
q不超过30与30互质,30+30-q与30互质的奇数q个数为8,分别为:1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.
q不超过30与30互质,30+60-q与30互质的奇数q个数为8,分别为:1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.
8:m=30,2k=14或2k=28或2k=56或2k=7^N×2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3,
q不超过30与30互质,30+14-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:1 ,7 ,13.
q不超过30与30互质,30+28-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:11 ,17 ,29.
q不超过30与30互质,30+56-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:7 ,13 ,19.
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