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Φ(m)函数

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发表于 2019-8-6 16:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 discover 于 2019-8-21 00:43 编辑

Φ(m)函数

欧拉函数φ(m)

       在数论,对正整数m,欧拉函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。
φ(m)= mΠ(1-1/p)(Π为连乘积符号,p为m的素因子)

Φ(m)函数
      
       在数论,对偶数m(m≥6),函数Φ(m)是小于m的正奇数中q与m互质且q-2k或q+2k(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然,q<m,q-2k不一定为正整数或q+2k不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)(Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)   
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。

若m为奇数(m≥3),函数Φ(m)是小于m的正整数中q与m互质且q-k或q+k(k≥1)与m互质的正整数q的数目。
显然,q<m,q-k不一定为正整数或q+k不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=mΠ(1-2/p)(Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=mΠ(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=mΠ(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)   
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。

       在数论,对偶数m(m≥6),函数Φ(m)也可表示小于m的正奇数中q与m互质且m+2k-q(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然,q<m,m+2k-q不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)(Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)   
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。


例如

1:m=30,2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3,

q不超过30与30互质的奇数对(q-2,q)个数为3,分别为:-1 1,11 13,17 19.

q不超过30与30互质的奇数对(q-4,q)个数为3,分别为: 7 11,13 17,19 23.

q不超过30与30互质的奇数对(q-8,q)个数为3,分别为: -7 1,-1 7,11 19 .

q不超过30与30互质的奇数对(q-16,q)个数为3,分别为: 1 17,7 23,13 29.

q不超过30与30互质的奇数对(q-32,q)个数为3,分别为:-31 1,-19 13,-13 19.

q不超过30与30互质的奇数对(q-64,q)个数为3,分别为:-53 11,-47 17,-41 23.

2k=2与2k=32,2k之差为30,q相同,分别为:1,13,19.

2k=4与2k=64,2k之差为60,q相同,分别为:11,17,23.


2:m=30,2k=6或2k=12或2k=24或2k=48或2k=3^N×2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=6,

q不超过30与30互质的奇数对(q-6,q)个数为6,分别为:1 7,7 13,13 19,11 17,17 23,23 29.

q不超过30与30互质的奇数对(q-12,q)个数为6,分别为:-11 1,1 13,7 19,17 29,-1 11 ,11 23.

q不超过30与30互质的奇数对(q-24,q)个数为6,分别为:-23 1,-17 7,-13 11,-11 13,-7 17,-1 23.

q不超过30与30互质的奇数对(q-48,q)个数为6,分别为:-47 1,-41 7,-37 11,-31 17,-29 19,-19 29.


3:m=30,2k=30或2k=60或2k为30的倍数,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=m/2Π(1-1/p)=φ(m)=8,

q不超过30与30互质的奇数对(q-30,q)个数为8,分别为:-29 1,-23 7,-19 11,-17 13,-13 17,-11 19,-7 23,-1 29.

q不超过30与30互质的奇数对(q-60,q)个数为8,分别为:-59 1,-53 7,-49 11,-47 13,-43 17,-41 19,-37 23,-31 29.


4:m=30,2k=14或2k=28或2k=56或2k=7^N×2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3,

q不超过30与30互质的奇数对(q-14,q)个数为3,分别为:-13 1,-7 7,-1 13.

q不超过30与30互质的奇数对(q-28,q)个数为3,分别为:1 29,-11 17,-17 11.

q不超过30与30互质的奇数对(q-56,q)个数为3,分别为:-49 7,-43 13,-37 19.


5:m=30,2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3,

q不超过30与30互质,30+2-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:1 ,13 ,19.

q不超过30与30互质,30+4-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:11 ,17 ,23.

q不超过30与30互质,30+8-q与30互质的奇数q个数为3,分别为: 1 , 7 ,19.

q不超过30与30互质,30+16-q与30互质的奇数q个数为3,分别为: 17 ,19 ,23.

q不超过30与30互质,30+32-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:1 ,13 ,19.

q不超过30与30互质,30+64-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:11 ,17 ,23.

2k=2与2k=32,2k之差为30,q相同,分别为:1 ,13 ,19.

2k=4与2k=64,2k之差为60,q相同,分别为:11 ,17 ,23.


6:m=30,2k=6或2k=12或2k=24或2k=48或2k=3^N×2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=6 ,

q不超过30与30互质,30+6-q与30互质的奇数q个数为6,分别为:7 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.

q不超过30与30互质,30+12-q与30互质的奇数q个数为6,分别为:1 ,11 ,13 ,19 ,23 ,29.

q不超过30与30互质,30+24-q与30互质的奇数q个数为6,分别为:1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,23.

q不超过30与30互质,30+48-q与30互质的奇数q个数为6,分别为:1 ,7 ,11 ,17 ,19 ,29.


7:m=30,2k=30或2k=60或2k为30的倍数,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)=m/2Π(1-1/p)=φ(m)=8,

q不超过30与30互质,30+30-q与30互质的奇数q个数为8,分别为:1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.

q不超过30与30互质,30+60-q与30互质的奇数q个数为8,分别为:1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29.


8:m=30,2k=14或2k=28或2k=56或2k=7^N×2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=3,

q不超过30与30互质,30+14-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:1 ,7 ,13.

q不超过30与30互质,30+28-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:11 ,17 ,29.

q不超过30与30互质,30+56-q与30互质的奇数q个数为3,分别为:7 ,13 ,19.


      

 楼主| 发表于 2019-8-6 16:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 discover 于 2019-8-6 16:50 编辑

数论中,Π(1-2/p)的含义并不明确,本帖作了一点思考,暂且称为Φ(m)函数,不知是否可行?是否还有其他内涵?
望陆老师和网友指教!

点评

Π(1-2/p)的含义,本人已解决得差不多了,不知何时能表达出现  发表于 2019-8-8 22:33
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 楼主| 发表于 2019-8-8 16:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 discover 于 2019-8-9 10:09 编辑

以m=210为例:

由欧拉函数φ(m)可知:
m=210,φ(m)=mΠ(1-1/p)=48
不超过210与2,3,5,7互素的奇数个数为φ(m)=48
显然,这48个奇数关于中心210/2=105对称分布。

由Φ(m)函数可知:
m=210,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=15
不超过210与2,3,5,7互素的奇数对(q-2,q)个数为Φ(m)-1=14,分别为:11 13,17 19,29 31,41 43,59  61,71 73,101 103,107 109,137 139,149 151,167 169,179 181,191 193,197 199.
210-197=13,210-199=11,
显然,这14个奇数对关于中心210/2=105对称分布,
但奇数对并非素数对,其中奇数对(167 169)不是孪生素数。

对于m=210k,与2,3,5,7互素的奇数关于中心210k/2=105k对称分布,
对于m=210k,与2,3,5,7互素的奇数对(q-2,q)关于中心210k/2=105k对称分布,
这就是所谓的互素数中心对称分布定理,
其实是欧拉函数φ(m)和Φ(m)函数的性质之一。
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 楼主| 发表于 2019-8-8 16:46 | 显示全部楼层
Φ(m)函数即双筛比例式的来源,前提是p为m的奇素因子,筛出的也未必是素数。

如:
m=30,Φ(m)= m/2Π(1-2/p)=3,孪猜双筛比筛式为真值.
2n=32,Φ(2n-2)=(2n-2)/2Π(1-2/p)=3,哥猜双筛比例式为真值。

函数Φ(m)是否还有其它含义,有兴趣的网友可以讨论!

点评

函数Φ(m)是否还有其它含义,有兴趣的网友可以讨论! 这是您的邀请吧?不是我来打扰,是吧?  发表于 2019-8-24 14:39
请看。可免费下载的《倍数含量筛法与恒等式的妙用》,一文  发表于 2019-8-8 18:26
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发表于 2019-8-8 18:05 | 显示全部楼层
欧拉函数φ(m)

       在数论,对正整数m,欧拉函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。
φ(m)= mΠ(1-1/p)(Π为连乘积符号,p为m的素因子)

在这里,
p为m的素因子

这是不可忽略的,是吗?

点评

鲁先生对欧拉函数φ(m),门清,学习了,  发表于 2019-8-8 22:35
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发表于 2019-8-8 18:08 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2019-8-8 10:05
欧拉函数φ(m)

       在数论,对正整数m,欧拉函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。

discover先生
请看。可免费下载的《倍数含量筛法与恒等式的妙用》,一文
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发表于 2019-8-8 18:14 | 显示全部楼层
discover 发表于 2019-8-8 08:46
Φ(m)函数即双筛比例式的来源,前提是p为m的奇素因子,筛出的也未必是素数。

如:

讨论1:
Φ(m)函数即双筛比例式的来源,

这说法欠妥,
我的两筛法的来源等差互补数列的性质规律,仅有Φ(m)函数,是得不到的
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发表于 2019-8-8 18:39 | 显示全部楼层
讨论2:

我的算法是:
和为30的素数对,30/2Π(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=4
实际是,(1,29)不是,但占位,(7,23),(11,19),(13,17)
小于32的孪生素数有:(32-2)(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)=3
实际是(11,13),(17,19),(29,31),
(3,5),(5,7)被筛掉了。
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发表于 2019-8-9 06:29 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2019-8-8 10:05
欧拉函数φ(m)

       在数论,对正整数m,欧拉函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。

对欧拉函数φ(m),门清,学习了

是没搞清楚的意思吗?请赐教
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 楼主| 发表于 2019-8-9 10:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 discover 于 2019-8-9 15:37 编辑

如果欧拉函数φ(m)是素数定理之源,那么Φ(m)函数是哈-李猜想之源。
但欧拉函数φ(m)证明不了素数定理,Φ(m)函数也证明不了哈-李猜想。
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