关于内心的几个帖子

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第一贴　内心圆弧
如图；三角形ＡＢＣ内心Ｉ在其以外接圆Ａ所对的ＢＣ弧的中点Ｄ为圆心，ＤＢ（或ＤＣ）为半径的圆弧上。

证明：连接ＡＤ，并作∠ＢＣＡ的平分线交外接圆于Ｅ点。
于是∠ＤＣＥ＝（∠ＤＣＢ+∠ＢＣＩ）/2=(∠A+∠C)/2,　∠ＤＩＣ=（∠ＤAＣ+∠EＣA）/2=(∠A+∠C)/2.
所以ＤＩ＝ＤＣ。即Ｉ在其以Ｄ为圆心，ＤＢ（或ＤＣ）为半径的圆弧上。
这段弧我们称它为弦ＢＣ的内心圆弧。

红树

红树

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红树

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第二贴　圆内接四边形四边的内心圆弧在圆内顺次交成矩形。

如图；圆内接四边形ＡＢＣＤ各边的内心圆弧顺次交于Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ。求证：四边形ＰＱＲＳ是矩形。
证明：设四边形外侧的ＡＢ弧，ＢＣ弧，ＣＤ弧，ＤＡ弧所对的圆周角分别为　α  ， β  ， γ  ，δ。则有α + β + γ +δ=180°.
又设ＡＢ弧中点为Ｅ，连接ＥＣ、ＥＤ，由第一贴内心圆弧定义知，ＥＣ、ＥＤ分别经过Ｐ、Ｓ点。且ＥＢ＝ＥＰ＝ＥＳ。
于是　∠EPB=90°-∠BEC/2=90°-β/2,同理　∠EPS=90°-γ/2。
即得　∠SPB=∠EPB+∠EPS=180°-(β+γ)/2.
同理　∠BPQ=180°-(α+δ)/2,
这样　∠SPQ=360°-∠SPB-∠BPQ=(α+β+γ+δ)/2=90°.
同理　这个四边形其它角都是直角，即得四边形ＰＱＲＳ是矩形。■

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第三贴：角对称

如图；圆内接四边形ＡＢＣＤ、矩形ＰＱＲＳ及各弧所对圆周角表示如前贴，设Ｆ为ＢＣ弧中点，Ｈ为ＤＡ弧中点。连接ＦＱ，ＦＲ，ＨＰ，ＨＳ。由前贴知道：ＦＱ＝ＦＲ，ＨＰ＝ＨＳ。做ＱＲ（或ＰＳ）的中垂线，则可知它即为直线ＨＦ，是为矩形ＰＱＲＳ的对称轴。
考虑ＡＣ与ＢＤ与ＨＦ（在ＨＦ两侧）的所成角。可以推知，它们都等于(β+γ)/2（或其补角）。而作为对称轴的ＨＦ显然ＰＲ、ＱＳ成（在ＨＦ两侧）相等的角。
由上可以推论，ＰＲ与ＢＤ，ＱＳ与ＡＣ在上述意义下成等角（或互补）。
这就证明了：圆内接四边形与其内心矩形的对角线对应交角相等（或互补）。

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最后一贴
圆内接四边形ＡＢＣＤ中，三角形ＡＢＤ、ＡＢＣ、ＢＣＤ、ＣＤＡ的内切圆圆心分别为Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ，半径分别为r1、r2、r3、r4。则有 r1+r3=r2+r4。

证明：如图，过三角形ＡＢＤ、ＢＣＤ内心Ｐ、Ｒ分别向ＢＤ作垂线段，可以知，这两垂线段长当然是r1、r3。设ＰＲ与ＢＤ所交锐角为θ，则易知
r1+r3=PRsinθ　　（1）。根据上贴所述，ＱＳ与ＡＣ所成锐角也是θ，即得 r2+r4=QSsinθ　　（２）。又由第二贴，作为矩形对角线，ＰＲ＝ＱＳ。
比较（１）（２），即可知　r1+r3=r2+r4。■
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如果关于内心还有什么好的漂亮结论，请知道的网友告诉我。

红树

此题难度大啊！

malingxiao1984

4个结论环环相扣，非常漂亮的证明。

malingxiao1984

关于垂心，有个类似的漂亮结论：圆上四点俩俩相连成四个三角形，它们的垂心四点共圆，而且这个圆的半径等于原来圆的半径。