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幽灵虚数三部曲之一:幽灵的出现——什么是虚数

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发表于 2018-3-22 09:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
      幽灵虚数三部曲;虚数   意识   人类生活的维度
•虚数在诞生之后的数百年时间里,一直被人们视为数学中的幽灵。那么科学发展到了今天,人们看清了这个幽灵的真实面目了吗?幽灵是怎么来的?它到底是什么?为什么它会有特殊的运算模式?这种模式是其自身拥有还是我们人类给附加的?请看虚数三部曲之一:幽灵的出现——什么是虚数;
    •虚数在现实中存在吗?假如真的存在,并且存在于一个比虚数幽灵本身更难理解的“迷”之中,那么它会为人类解开哪些谜团和问题呢?还会把人类的认知、意识和思维提高到怎样的高度?请看虚数三部曲之二:人类心中的幽灵——意识思维中的虚数;
    •人类到底生活在几维世界中?有实际例子和能够证明吗?你能给你生活的这个复杂的社会下一个科学定义吗?从而使我们更能简单、有效的认识它,或许还能减少你我的压力与烦恼?“无”和“鬼”是怎样创造的(bi的定义域)?为什么婚姻不是“1+1”?请看虚数三部曲之三:人类生活的维度——当幽灵闯入你的世界。

虚数三部曲之一:幽灵的出现——什么是虚数
虚数是什么? 笛卡尔给出了虚数名称,但他不理解它;柯西亲手创立了复变函数理论,但他也不同意把虚数作为数,直到十九世纪,高斯等人给出了复数及其代数运算的几何解释之后,人们才逐渐消除了对虚数的疑虑,此后虚数得到了广泛的运用并给出了种种真实的结果,这就是虚数目前的现状。那么,虚数到底是什么,其现实基础或背景是怎样的?那个经常应用的几何解释是怎么来的?有谁证明过呢?√-1究竟又是什么含义?等等,而所有这些正是本文要为您揭示的。
一、        虚数的概念、数的属性、虚数的矛盾内涵、虚数的几何构造
(一)、虚数的概念
我们知道,虚数是在解方程过程中,对负数实施开方产生的。那么下面我们就从产生虚数过程中涉及到的有关“开方”、“负数”和“实数”以及所运用的“运算规则” 等概念和操作出发,来分析和阐释虚数的所有问题。
设存在一个方程A:x2+4=0 并求解方程A
解 x2+4=0 变换得
x2=-4                     …1
x=±√-4                  …2
这是虚数“x=±√-4  ”(为便于分析暂不解出最终结果)产生的一个极普通的例子。分析解方程A的过程如下:
1、        运算。在现行的数学演算规则中,所有的运算,如加、减、乘、除(包括开方)都可以无限次的反复使用。那么在这种无限次的使用的过程中就足以产生像x2+4=0这样的式子。
2、        乘法原则。乘法原则规定:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
在解方程A时得x2=-4  可以表示为xx=-4
如果x是一个不为0的实数,那么两个相同的x相乘必为同号,所以xx的乘积必为正数(同号得正),因此,当解题进行到此时,已经表明不可
能有任何实数满足这个方程。但是,按照解方程的需求,运算仍将继续,那么解出的根是什么数呢?
3、        非实数根的产生。当运算进行到第2步时,得到方程的根x=±√-4。前面我们已经论证了没有实数能够满足方程A,所以解得的方程的根±√-4就不是实数,因此它不属于R(实数集),当然这个根也不属于实数-4或4(虽然它来源于对-4的开方),因此它与实数(或实数集)的关系是一种“绝对不属于”或“恒不属于”的关系。而“绝对不属于”和“恒不属于”是一种既包含着矛盾又不相容含义的词汇,在以严格的“数理逻辑”为基础的推理过程中,怎么会产生矛盾和不相容呢?是规则和逻辑出现了问题吗?而这也正是“幽灵”困扰人们的地方。
由x=±√-4解得方程的根是±2√-1,根中的±2我们已知悉含义,√-1哪?人们会说√-1就是虚数,但虚数的定义是什么?根据上述1、2、3点,我们给出虚数的概念:虚数是在对负数进行开方运算中产生的,与实数(或实数集)具有“恒不属于但关联且相容”关系的超延数。对虚数的概念解释如下:
1、恒不属于:在前面已经论述了虚数恒不属于;
2、关联:虚数与实数相关联是因为虚数来源并产生于实数;
     3、相容:因为虚数与实数相关联,并且逆运算也成立,所以与之相容;
     4、超延数:对于方程A的根±√-4或±2√-1,此前我们已经称之为“虚数”,这是相对于“实数”的一种叫法,其实,它是在实数运算中产生但超出实数范畴或实数集外延的数,即:是在某种特定条件或一定规则下产生的超出某种特殊范畴的数,因此,科学的叫法应该是“超延数”。但为简洁方便起见,在下面的论述中,我们仍会使用通俗的称谓:虚数。
(二)、数的属性标志(符号)
毕达哥拉斯说:万物皆数,柏拉图和罗素还说:数不可相加。所有这些都似乎说明两个问题,一是数是人类认识世界的工具,二是数具有数、量或类等等这样那样的不同特点,即使人类在计算和使用时使其更多的具有抽象性,但数的不同含义仍不时显现,并可能造成矛盾和混乱。笔者认为,数具有属性,有些数属性相同,有些则不同。数的不同属性或相同属性怎样标记呢?
1、不同属性的标志
现在对方程的根±2√-1 进行对比分析:在前面我们已经证明,根±2√-1不属于实数,但是根中的±2是属于实数的,所以只有一种可能就是根中的√-1是代表“不属于”的含义的。由于所有虚数(超延数)都可以表示为x√-1(x∈R)的形式,所以“√-1”就是“不属于”这一描述关系词语的数学语言或标志,因此“√-1”就代表“不属于”或“超延”的含义,我们知道,现在对√-1的简易记作是i,所以i也是“不属于”的标志或符号,人们目前把它叫做虚数单位。
所以凡有不同属性出现或进行运算的,原则上数后应加标√-1,比如2和3具有不同属性,如果二者相加,则应写成:2√-1+3√-1。
2、相同属性的标志。相同属性用“√1”标志。比如:2+3,因为2与3具有相同属性,所以应写成2√1+3√1,。我们看到,相同属性的数进行运算时属性
标记“√1”是可以省略的。关于这一点,人类在千百年以前就已经这样做了。
√1和√-1就是属性符号。
可以说,自从“数”产生以来就有属性标志,只不过相同属性标志“√1”,一开始就被人类省略掉了,或者从根本意义上说是因为人们对数的属性没有清晰地了解而忽略掉了;而不同属性标志“√-1”在数百年前(大约是卡尔达诺时代)出现后,人们又不知道其真正的“语言含义”和“符号意义”,所以它就像幽灵一样一直袭扰着人们的心智。
数的属性的发现遵从人类心智历程的一个经典例证:从复杂到简单,即先发现复杂、隐秘、难于理解、幽灵般的事物、现象、本质或规律,比如i(√-1)是“不属于”标志符号;再对映(相对反映)、映射或反衬出那些“最常用、最司空见惯的、极普通甚或可以省略的”东西的本质来,比如√1的属于标志。
综合上述分析,对数的功能和不同特性可以概括为:万物皆数,万数皆属。
(三)、虚数概念的矛盾内涵
    让我们清晰地列举出虚数“恒不属于但关联且相容”关系中所包含的矛盾:
    1、在虚数与实数关系中,承认P&¬P,与逻辑学中的“不矛盾律”相矛盾;
2、虚数中的关系语言不符合几何公理的要求
在希尔伯特的《几何基础》中,不经定义(公设)的点、线、面之间的相互关系用“关联”(“在…之上”、“属于”)〔1〕等词来描述。在这里,我们看到“关联”用“在”…之上”和“属于”表示,其意思是“关联”与“属于”是一致甚或同一的,起码是不矛盾的,但是在虚数关系中却存在“恒不属于”而且“关联”,既然虚数概念的实质内涵与几何公设相矛盾,为什么虚数与实数的代数运算却被数学家高斯等人用“几何”解释表示了出来,并且运用自如、效果良好呢?这种解释正确吗?饱含矛盾的“恒不属于但关联且相容”的逻辑混沌语言到底有着怎样的数学计算或数学解释呢?
(四)、虚数与实数“恒不属于但关联且相容”关系的几何构造与运算规则
下面用几何形式来建构“恒不属于但关联且相容”的数学涵义和运算:
ⅰ、证明关联性
设 有两条线段OA和OB  令线段OA=a a∈R; OB=b b∈R O是两条线段的公共点
∵ 不论两条线段的位置如何 a、b在O点都结合或联接
∴b与a相关联 关联性得证。
ⅱ、证明归属性
由证明ⅰ得,a、b在O点关联,两线段的位置关系只有两种情况:一是在同一直线上;二是不在同一直线上。
如果是第一种情况,则a、b同属于一条直线,表明b与a具有归属性,此结论不符合“恒不属于”的要求。所以我们只能考虑第二种情况:b与a不在同一直线上。按此要求
设 OA、OB联接并形成夹角  顶点O 此时b与a形成“关联”、“不属于”的关系
当线段OB上的所有点都距离线段OA最远时,即OB⊥OA时(如图1)不属于程度最高,即达到“恒”不属于的程度,即b恒不属于a,此时,b才可用bi
来代替,i是“不属于”标记,bi表示线段b恒不属于线段a
这就是实数与虚数关系的几何构造。OB称为虚轴。
  

                          图1 OB⊥OA(图略)
ⅲ、相容性
由于a与bi具有相容性,所以可写成a+bi(相加)的形式;而又因为a与b具有相互垂直的几何构造,所以a+bi的运算符合向量的运算规则。即现在正在使用的复数运算规则,如图2:

图2  复数的几何表示(图略)
结合数的属性,实际上上述的集合运算应该写成a√1+b√-1,我们可以清楚地看出a√1+b√-1不过是同属性的数与不同属性的数相加而已。此时如果在直角坐标系中表示不同属性的数相加就形成了复平面,所以,当且仅当√-1是属性标志时,在复平面中,点(a,b)才完全可以与数a√1+b√-1相对应。在省略掉同属性标志、并把不同属性标志用i代替后,就成为今天的复数a+bi的形式了。
综上所述,我们阐释了虚数的概念,给出了数的属性标志,同时证明了复数中虚数与实数关系的几何构造与运算规则,也因此证明高斯等人给出的关于复数的代数运算的几何解释与本证明相符。
二、狭义虚数
  上述虚数是在人类制定的某种规则或标准(如乘法原则)的前提下、对数实施运算产生的,我们把这种在制式(或格式化)条件下诞生的虚数(超延数)叫做狭义虚数。那么在其他形式下也可以产生虚数吗?虚数除了在运算中产生,是否还存在于其他领域?等等问题,笔者将在下一篇论文中论述。

〔参考文献〕
〔1〕希尔伯特.《几何基础》.北京大学出版社 第一章 3页
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