勾股数新公式

王守恩

蔡家雄 发表于 2023-3-11 23:39
求数列的通解公式，

1, 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, 571, 780, 2131, 2911, 7953, 10864, 29681 ...

A002530

0, 1, 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, 571, 780, 2131, 2911, 7953, 10864, 29681,
40545,110771, 151316, 413403, 564719, 1542841, 2107560, 5757961, 7865521,
21489003, 29354524,80198051, 109552575, 299303201, 408855776, 1117014753,

\[a_n=\frac{(1+\sqrt{3})^{n-1}}{2^{\lceil n/2\rceil}*\sqrt{3}}\]

蔡家雄

求 \(x^2 - (n^2 -2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - (n^2+2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*(2n*(n+1) -1) , y=2n*(n+1)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(n^2+(n+1)^2) -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

今天是国际数学日3月14日，推广此问题

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4^k)*y^2= -1\) 的最小解，

蔡家雄

用公式法求解特殊佩尔方程

设 \(p=4k+1\) 是素数，

求 \(x^2 - p*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=2p*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r=?\) ,

使 \(y=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}\) 是整数。

推论：此时，

设 \(p=4k+1\) 是素数，

求 \(x^2 - p*y^2= -1\) 的最小解，

得 \(y=r\) ,  \(x=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}/(2*r)\) .

蔡家雄

若 16^k+9^2 是素数，则 10 是素数 16^k+9^2 的原根。

若 16^k+29^2 是素数，则 10 是素数 16^k+29^2 的原根。

若 16^k+31^2 是素数，则 10 是素数 16^k+31^2 的原根。

若 16^k+41^2 是素数，则 10 是素数 16^k+41^2 的原根。

若 16^k+49^2 是素数，则 10 是素数 16^k+49^2 的原根。

若 16^k+51^2 是素数，则 10 是素数 16^k+51^2 的原根。

若 16^k+79^2 是素数，则 10 是素数 16^k+79^2 的原根。

若 16^k+89^2 是素数，则 10 是素数 16^k+89^2 的原根。

若 16^k+91^2 是素数，则 10 是素数 16^k+91^2 的原根。

若 16^k+99^2 是素数，则 10 是素数 16^k+99^2 的原根。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-17 22:54
若 16^k+9^2 是素数，则 10 是素数 16^k+9^2 的原根。

若 16^k+29^2 是素数，则 10 是素数 16^k+29^2 的 ...

若 16^k+9^2 是素数，则 10 是素数 16^k+9^2 的原根。
此时k={1, 2, 3, 4, 7, 8, 14, 16, 24, 32, 62, 68, 77, 88}
10 是素数 16^k+9^2 的原根:
例外项：
{4, 8, 24, 68}

Treenewbee

若 16^k+29^2 是素数
此时100内的k={1, 2, 3, 4, 14, 22, 35, 39, 47, 57, 59, 66, 74}
10 是素数 16^k+29^2 的原根:
例外项：
无。

Treenewbee

若 16^k+41^2 是素数
此时100内的k={1, 4, 6, 31, 36, 88, 90}
10 是素数 16^k+41^2 的原根:
例外项：
无。

Treenewbee

若 16^k+31^2 是素数
此时100内的k={1, 2, 5, 8, 14, 16}
10 是素数 16^k+31^2 的原根:
例外项：
无。