勾股数新公式

蔡家雄

如果 k=0, 可能有一个例外的，

就看 2^(4t+3)*17+1 或 2^(4t+3)*29+1 是素数，例外，

就看 2^(4t+4)*1+1 或 2^(4t+4)*7+1 是素数，例外，

谢谢 Treenewbee, (2^3 -1)*16^m+1=7*2^(4m)+1 为何有例外，原因正在此，

就看 2^(4t+5)*11+1 或 2^(4t+5)*23+1 是素数，例外，

就看 2^(4t+6)*13+1 或 2^(4t+6)*19+1 是素数，例外，

改为 k>=1, 就可以排除这个例外的，

就好比，解：\(x^a+y^b=z^c\) ,

抓住：\(1+2^3=3^2\) 这个本质，就是：解题的关键！

蔡家雄

生成完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

10 是素数 3^2+2^3=17 的原根，
10 是素数 3^4+2^5=113 的原根，
10 是素数 3^6+2^7=857 的原根，
10 是素数 3^12+2^13=539633 的原根，
10 是素数 3^22+2^23=31389448217 的原根，
10 是素数 3^32+2^33=1853028778786433 的原根，
10 是素数 3^36+2^37=150094772735952593 的原根，
10 是素数 3^46+2^47=8862938260389989451257 的原根，
10 是素数 3^80+2^81=147808829414348341167722439464732709953 的原根，
10 是素数 3^154+2^155=29969067287845284806900763424259354345695037325432711901413781193689500137 的原根，
10 是素数 3^236+2^237=39867234790105605031052158475473603885214702979674478224207279045242447503005351752119734009677347787327998900593 的原根，
10 是素数 3^250+2^251= 190683748116796615589766511371277507701260429967651126103174761897479526555470283571068048447508517209471538025816027497 的原根，
10 是素数 3^992+2^993=201504468751837621839727977404685926835150439376946832443975059933977838339689818555216935505351023009283611903196552713908086356058621995407002396777618301177811343575418503951721787383304872793005232962627245632571105557936833267194815304366778547765493764740044293673929368039251196446446723938278591809721982615857996114286344721172111746288859733499249290109426007919969472996555103682274449696455944323255567670689270574629521811105681761209036785000603422679143272833 的原根，

Treenewbee

若 (10d+3)^2+2^3 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2+2^3 的原根。
例外32/659：
{105,270,468,513,753,813,1365,1380,1998,2322,2658,2673,2757,2766,3543,4053,4911,5160,6075,6396,6621,6822,6903,7575,7617,7725,7800,8361,8442,9540,9591,9606}

若 (10d+5)^2+2^3 是素数，则 10 是素数 (10d+5)^2+2^3 的原根。
例外45/720：
{13,139,349,832,976,1096,1312,1558,2191,2347,2362,2887,2929,3097,3208,3226,3307,3412,3736,4105,4117,4525,4570,5200,5371,5470,6145,6187,6310,6475,6856,7003,7285,7591,7738,8059,8620,8704,8818,8848,8968,8974,9205,9232,9859}

若 (10d+7)^2+2^3 是素数，则 10 是素数 (10d+7)^2+2^3 的原根。
例外30/678:
{269,434,671,1076,1097,1106,1232,1358,1538,1556,2198,2639,2870,2924,4403,4592,4730,4991,6125,6332,6797,7805,7907,7940,8600,8732,9146,9425,9509,9800}

Treenewbee

若 (10d+3)^2+32^3 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2+32^3 的原根。
例外24/690：
{69,1224,1683,2295,2757,3090,3198,3534,3972,4233,4773,4923,5538,6411,6474,6579,6600,6852,7170,7527,7542,7545,8352,9210}

若 (10d+5)^2+32^3 是素数，则 10 是素数 (10d+5)^2+32^3 的原根。
例外26/675：
{10,619,976,1102,1714,2662,2740,2971,3814,3880,4600,4957,5344,5722,5998,6058,6517,7048,7423,7945,8269,8515,8830,8851,9016,9754}

若 (10d+7)^2+32^3 是素数，则 10 是素数 (10d+7)^2+32^3 的原根。
例外21/718:
{56,392,728,980,1070,1925,3038,4025,4253,4457,4613,5108,5369,5447,6293,7154,7280,8078,8309,8639,9674}

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

若 33^(2n)+32^(2n+1) 是素数，则 10 是素数 33^(2n)+32^(2n+1) 的原根。

若 513^(2n)+512^(2n+1) 是素数，则 10 是素数 513^(2n)+512^(2n+1) 的原根。

Treenewbee

若 8^(4t+1)+7^(4t+2) 是素数，不可能，一定是3的倍数
若 8^(4t+2)+7^(4t+3) 是素数，则 10 是素数 8^(4t+2)+7^(4t+3) 的原根，14不符
若 8^(4t+3)+7^(4t+4) 是素数，不可能，一定是3的倍数

蔡家雄

设 k 为正整数，

若 20k+17 与 (20k+17)*6+1 均为素数，

则 10 是素数 (20k+17)*6+1 的原根。

蔡家雄

设 k 为正整数，

若 20k+1 与 (20k+1)*96+1 均为素数，

则 10 是素数 (20k+1)*96+1 的原根。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-7 13:08
设 k 为正整数，

若 20k+17 与 (20k+17)*6+1 均为素数，

10000之内有612个满足素数条件的k,其中198个原根不为10：

{133,151,207,259,285,342,348,396,469,517,522,637,676,684,732,760,810,865,937,1008,1044,1146,1176,1197,1216,1233,1251,1261,1317,1338,1414,1531,1540,1561,1611,1743,1831,1876,1882,1897,1996,2052,2086,2112,2119,2136,2253,2265,2274,2350,2395,2416,2451,2496,2497,2503,2538,2547,2562,2659,2694,2755,2784,2829,2910,2911,2953,2968,3114,3165,3199,3228,3316,3438,3462,3466,3486,3514,3561,3613,3651,3673,3703,3718,3751,3780,4003,4122,4176,4200,4222,4323,4362,4411,4530,4554,4647,4842,4914,4918,5017,5089,5121,5160,5290,5367,5445,5451,5529,5565,5628,5671,5739,5782,5832,5961,5986,6007,6013,6048,6096,6105,6259,6315,6322,6325,6360,6441,6454,6565,6642,6742,6832,7048,7057,7069,7074,7083,7096,7167,7189,7228,7236,7314,7323,7342,7425,7518,7557,7630,7713,7720,7839,7840,7851,7881,7992,8005,8068,8085,8127,8280,8401,8436,8509,8538,8587,8596,8604,8610,8614,8656,8709,8730,8736,8817,8820,8842,8905,8952,9085,9126,9286,9301,9337,9393,9433,9498,9532,9549,9561,9582,9631,9645,9693,9786,9853,9891}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-7 13:22
设 k 为正整数，

若 20k+1 与 (20k+1)*96+1 均为素数，

10000之内有506个满足素数条件的k,其中160个原根不为10：

{23,68,107,108,117,140,251,276,324,350,458,461,486,495,558,602,639,696,717,824,1085,1098,1136,1179,1188,1266,1301,1307,1343,1353,1431,1475,1494,1496,1539,1554,1616,1682,1718,1725,1868,2040,2042,2064,2148,2210,2277,2291,2330,2352,2372,2414,2441,2541,2718,2781,2847,3002,3008,3110,3143,3146,3162,3204,3215,3279,3302,3444,3554,3563,3624,3800,3992,4017,4128,4319,4361,4374,4385,4412,4581,4620,4664,4790,4893,4905,5123,5138,5150,5178,5285,5360,5382,5399,5441,5477,5589,5591,5745,5805,5817,5931,5934,6110,6167,6348,6555,6821,6827,6830,6842,6866,7020,7056,7098,7164,7217,7227,7269,7293,7394,7443,7448,7472,7493,7500,7625,7892,7976,8057,8088,8297,8304,8438,8582,8609,8637,8687,8703,8763,8820,8832,8951,8979,8990,9018,9053,9324,9470,9471,9564,9567,9572,9606,9639,9833,9858,9932,9938,9987}