勾股数新公式

Treenewbee

这样更整齐一些：

\[a(n)=\frac{(15+4\sqrt{14})^{2n+1}+(15-4\sqrt{14})^{2n+1}-30}{224}\]

ysr

Treenewbee 发表于 2023-2-6 10:34
这样更整齐一些：

\[a(n)=\frac{(15+4\sqrt{14})^{2n+1}+(15-4\sqrt{14})^{2n+1}-30}{224}\]

设 w 为三角数，且 w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式

n=1 d=8n^2-7=1^2, w=0
n=2 d=8n^2-7=5^2, w=3
n=4 d=8n^2-7=11^2, w=15
n=11 d=8n^2-7=31^2, w=120
n=23 d=8n^2-7=65^2, w=528
n=64 d=8n^2-7=181^2, w=4095
n=134 d=8n^2-7=379^2, w=17955
n=373 d=8n^2-7=1055^2, w=139128
n=781 d=8n^2-7=2209^2, w=609960

ysr

ysr 发表于 2023-2-6 12:33
设 w 为三角数，且 w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式

n=1 d=8n^2-7=1^2, w=0

m=(√d-1)/2，w=m(m+1)/2
我不会推导w的通项公式

Treenewbee

ysr 发表于 2023-2-6 20:37
m=(√d-1)/2，w=m(m+1)/2
我不会推导w的通项公式

\[a(n)=\frac{1}{64} ((4+\sqrt{2}) (1+(-1)^n\sqrt{2} )^{2 \lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor }+(4-\sqrt{2}) (1- (-1)^{n}\sqrt{2})^{2 \lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor })^2-1\]

Treenewbee

A006454                Solution to a Diophantine equation: each term is a triangular number and each term + 1 is a square.

0, 3, 15, 120, 528, 4095, 17955, 139128, 609960, 4726275, 20720703, 160554240, 703893960, 5454117903, 23911673955, 185279454480, 812293020528, 6294047334435, 27594051024015, 213812329916328, 937385441796000, 7263325169820735, 31843510970040003, 246739243443988680......

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-2-6 23:30
A006454                Solution to a Diophantine equation: each term is a triangular number and each term + 1 is a ...

真诚请教：还能化简吗？A006454

\(a(n)=\frac{(1+\sqrt{8})^2 (\cos(n\pi)\sqrt{8}-3)^{2\lfloor n/2\rfloor}+(1-\sqrt{8})^2 (\cos(n\pi)\sqrt{8}+3)^{2\lfloor n/2\rfloor}-18}{32}\)

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-2-7 09:11
真诚请教：还能化简吗？A006454

\(a(n)=\frac{(1+\sqrt{8})^2 (\cos(n\pi)\sqrt{8}-3)^{2\lfloor n/2 ...

\[Round(\frac{(5 \sqrt2+ (-1)^n) (\sqrt2 + 1)^{2 n - 1} - 16}{32})\]

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-2-7 10:03
\[Round(\frac{(5 \sqrt2+ (-1)^n) (\sqrt2 + 1)^{2 n - 1} - 16}{32})\]

谢谢 Treenewbee ！继续讨教。

\(a(n)=\frac{n(n-1)}{2}*\bigg(1-\bigg\lceil  FractionalPart\bigg(\sqrt{\frac{w*n(n-1)+2}{2}}\bigg)\bigg\rceil\bigg)\)

Table[(n (n - 1))/2 (1 - Ceiling[FractionalPart[Sqrt[(3 n (n - 1) + 2)/2]]]), {n, 1, 600}]

{0, 1, 0, 0, 0, 0, 21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 120, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2080,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 11781, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,....

这些“0”应该怎样去掉(在这里, w=3)？

王守恩

王守恩 发表于 2023-2-7 11:21
谢谢 Treenewbee ！继续讨教。

\(a(n)=\frac{n(n-1)}{2}*\bigg(1-\bigg\lceil  FractionalPart\bigg(\ ...

高人！！！就这么简单(挑来挑去我就是瞎鼓捣)？！谢谢 Treenewbee ！

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-2-7 12:09
高人！！！就这么简单(挑来挑去我就是瞎鼓捣)？！谢谢 Treenewbee ！

Select[Table[n*(n - 1)/2, {n, 600}], IntegerQ[Sqrt[3*# + 1]] &]