勾股数新公式

Treenewbee

195479搜到了这个序列：

A331675

31127: (2260, 4870, 17386, 30335), (2495, 11998, 16430, 30320);

41963: (1100, 17260, 25015, 40234), (8750, 12109, 14470, 41720);

72899: (4555, 44270, 58868, 59330), (9700, 16480, 47618, 69265);

154789: (49586, 55450, 102170, 145615), (66405, 106740, 119760, 121664);

195479: (12970, 43340, 140947, 180520), (25570, 41080, 112822, 189695);

208471: (3903, 46560, 61290, 207950), (91045, 149222, 150550, 168730).

蔡家雄

定理：三角数 n^2*(2*n^2 -1) 均可表为 前n个 连续奇数立方数之和。

定理：若 2*n^2 -1 =2^p -1 是梅森质数时，则 n^2*(2*n^2 -1) 是完全数。

根据佩尔数列：1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ......

定理：若 n=1，5，29，169，985，...... 则 n^2*(2*n^2 -1) 既是三角数，又是平方数。

求证：若 n>=2, 则 [ n^2*(2*n^2 -1) ]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

举例：PowersRepresentations[8128^3, 3, 3]

s = 0;
For[n = 2, n <= 8, n++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", n^2*(2*n^2 -1), "-----",
   PowersRepresentations[(n^2*(2*n^2 -1))^3, 3, 3]]]]

蔡家雄

特殊三角数的立方表为三个立方数之和

求证：若 n>=2，则 (2^n*(2^(n+1) -1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

举例：PowersRepresentations[8128^3, 3, 3]

s = 0;
For[n = 2, n <= 8, n++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", 2^n*(2^(n+1) -1) , "-----",
   PowersRepresentations[(2^n*(2^(n+1) -1))^3, 3, 3]]]]

Treenewbee

似乎 n  >6时， (n*(2n -1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解

蔡家雄

求证：若 m>=2，则 (m(2m -1)(2m+1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

s = 0;
For[m = 2, m <= 8, m++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", m(2m -1)(2m+1) , "-----",
   PowersRepresentations[ (m(2m -1)(2m+1))^3 , 3 , 3]]]]

蔡家雄

【有解就：请：亮出来！！！】

求 d^4=2*a^4+b^4+c^4 的正整数解。

蔡家雄

【质数立方可以是完美立方数吗】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P 是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？ A= ?   B= ?   C= ?

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-1-27 15:29
【质数立方可以是完美立方数吗】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P 是质数，

197 = [53, [29, 34, 44]] + [58, [15, 42, 49]] + [194, [90, 138, 158]]
269 = [66, [33, 44, 55]] + [117, [13, 78, 104]] + [260, [65, 127, 248]]

Treenewbee

8000以内P,A,B,C均为素数的组合：
709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]
2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]

蔡家雄

锥形数：C(n) =n^2*(n+1)/2 ,

求证：若 n>=2，则 [n^2*(n+1)/2]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。


四维拟形数：C(n) =n*(n+1)^2*(n+2)/12 ,

求证：若 n>=2，则 [n*(n+1)^2*(n+2)/12]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

设 U=n,  V=n*(n+1)/2,  W=U^2 - 2*U*V/3+2*V^2/3,

则 W(n+2)=C(n)+C(n+2) =n*(n+1)^2*(n+2)/12+(n+2)*(n+3)^2*(n+4)/12 .