勾股数新公式

费尔马1

蔡家雄 发表于 2023-1-17 20:24
设 c^2=2*a^2+b^2，当 b 遍历所有正整数时，有特殊通式解。

设 d^3=2*a^3+b^3+c^3，当 a 遍历所有正整数 ...

这类不定方程有难度啊！学生不会解啊。

Treenewbee

c^2=2*a^2+b^2:

(2n,n,3n);
(12n,n,17n);
(99n,n,70n)

蔡家雄

求证：8r+3=a1^2+b1^2+c1^2 均可表为三个非零平方数之和，

同理：8t+3=a2^2+b2^2+c2^2 均可表为三个非零平方数之和，

再证：(a1^2+b1^2+c1^2)*(a2^2+b2^2+c2^2)=a3^2+b3^2+c3^2 均可表为三个非零平方数之和。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-1-20 12:50
求证：8r+3=a1^2+b1^2+c1^2 均可表为三个非零平方数之和，

同理：8t+3=a2^2+b2^2+c2^2 均可表为三个非零 ...

由于每个正整数都可以表示为三个三角形数的和，故
\[r=\frac{a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}+\frac{c(c+1)}{2}\]
\[8r+3=8(\frac{a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}+\frac{c(c+1)}{2})+3=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2\]

蔡家雄

【展望未来】

   求最小正整数m，使φ(m)＝2024，

   φ(m)表示与m互质且小于m的正整数的个数。

   我的解答：满足此条件下最小的m＝3243，欢迎批评指正。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-1-21 22:33
【展望未来】

   求最小正整数m，使φ(m)＝2024，

\[\varphi(m)=2024,m_{min}=2645\]

Treenewbee

1. from sympy import totient
   
2. print([n for n in range(1,10**6+1) if totient(n)==2024])

复制代码

1000000内满足条件的整数：

\[[2645, 3039, 3243, 4052, 4232, 4324, 5290, 6078, 6348, 6486]\]

蔡家雄

求证：(8r+3)*(8t+3)=u^2+v^2+w^2，

均可表为三个非零平方数之和。

蔡家雄

特殊三角数的立方表为三个立方数之和

求证：(2^n*(2^(n+1) -1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

蔡家雄

求证：有无穷多个m，

使得：m^3 既可以表为三个立方数之和，也可以表为四个非零立方数之和。

最小解m^3＝20^3=7^3+14^3+17^3=11^3+12^3+13^3+14^3.

有的：m^3 同时还可以表为五个非零立方数之和。

最小解 m^3=a1^3+a2^3+a3^3=b1^3+b2^3+b3^3+b4^3=c1^3+c2^3+c3^3+c4^3+c5^3.