【一直困惑的问题】 (- 8)^(1/3)是不是数？

ataorj

自从有了虚数，任何一个或其中一步算式都要明确数域才能正确进行计算。
虚数是实数运算中有了非实数时的规定。
此后不会产生非复数的表达式或运算，不会有不允许的算式(除了0做被除数)，所以从这个意义说，数不会超出复数范围。
当然，实数和虚数是两个不同的一维，它们有个公共点0，以此而成二维。
有了虚数后，必须要强调虚实数间的转化运算规则，ii=-1,iii=-i,iiii=1,这表明，一个正实数不能化为两个正虚数，比如下面是错误的：
36^0.5=[(-6)*(-6)]^0.5=(-6)^0.5*(-6)^0.5
实数就可用于表现多维，复数可方便明确表示二维
为了方便反映更多维度，可能可以定义三元数等。

ataorj

补充：为了明确新旧数域，可能已经规定0不是虚数了。这可能会有一些方便，但是不能直观表明两个一维间的共性：原点相同而重合。

elim

从代数的观点看，复数域的元素(成员)叫作数。

于是楼主的问题变成是否有实数 a, b 使 (a+ib)^3 = -8.
马马虎虎地我们可以说 (a,b) = (cos w, sin w),
其中 w = (2k+1)π/3 (k=0,1,2). 但是，就算 w 是实数，
cos w, sin w 凭什么是实数？ 换句话说，为什么任意角
的余弦，正弦均存在？ 这就真正涉及到实数理论。

elim

数首先是用来算的，如何算的正确？这就很重要了。举个例子：(A+1)/2=A，A除了等于1还可能等于其它玩意儿，这个您以为何如？

先不管数用来算是否“首先”，所谓数域，不是简单的一堆数，而是满足四则运算法则的一堆数。于是只要A 是数，那么 (A+1)/2 =A 就必然导致 A = 1.

这就是饺子汤定理。

elim

等量代换天经地义．既然 0.999...=1，A 代表 0.999... 就是代表1．