I 是 ΔABC 内心，AI 延长与 ΔABC 外接圆交于 D，AB=3，AC=4，SΔIBC=SΔDBC，求 BC

波斯猫猫

题：I是△ABC的內心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于D。设AB=3，AC=4，△IBC的面积与△DBC的面积相等，求BC长。

思路：如主贴图，设内切圆半径为r，BC=a，BD=b，则DC=b，且

(1)由△ABC的面积有r(a+7)=12sinA;     (2)在△ABC中，由余弦定理有a^2=25-24cosA;

(3)在△BCD中，由余弦定理有b^2=a^2+b^2-2abcos(A/2);    (4)由△IBC的面积与△DBC的面积相等有(a/2)^2+r^2=b^2.

解这四个方程组成的方程组，易得a=3.5 .

王守恩

I 是 ΔABC 内心,  AI 延长与 ΔABC 外接圆交于 D,  AB=c, AC=b,  SΔIBC=SΔDBC,  恒有 BC=(c+b)/2。

如何证明？ 谢谢！  c, b 是任意正数。

王守恩

I 是 ΔABC 内心,  AI 延长与 ΔABC 外接圆交于 D,  AB=c, AC=b,  SΔIBC=SΔDBC,  恒有 BC=(c+b)/2。

如何证明？ 谢谢！  c, b 是任意正数。

波斯猫猫

自姓，自副，自已卫事。

波斯猫猫

从时间上看。

王守恩

\(I\ 是\ ΔABC\ 内心,\ AI\ 延长与\ ΔABC\ 外接圆交于\ D,\ AC=b, AB=c,\ SΔIBC=SΔDBC,\ 恒有\ BC≡(b+c)/2。 b, c\  是任意正数。\)

\(记\ AD,BC\ 交点为\ O,\ \ OD=OI=x,  BD=CD=2x。 BO=c*k,CO=b*k,IA=x/k,\)

\(由面积。\frac{2 x*2 x}{b*c}=\frac{b*k+c*k}{b+c+b*k+c*k}——(1)\)

\(由相似。\frac{x}{b*k}=\frac{c*k}{x + x/k}——(2)\)

\(由\ (1)\ \ 4x^2=\frac{b*c(b*k+c*k)}{b+c+b*k+c*k},\ \ 代入\ (2)\ 约去\ b,c,\ \ \ 得:\ \ k=\frac{1}{2}\)