质疑第一次数学危机的真相

yangls728

√2不是有理数传统证明方法的论证形式错误
杨六省
yangls728@163.com
传统的证明方法把√2=p/q（p，q互质）作为“√2不是有理数”的反论题，那么，依据反证法的要求，就应该把√2=p/q（p，q互质）作为初始条件展开推理，否则，凭什么说明反论题就是导致矛盾的原因呢？但是，在推出矛盾结论（指“p和q都是偶数”）的过程中（姑且不论这种推出是否有效），并没有用到反论题√2=p/q（p，q互质）中的“p，q互质”这一条件，这是传统证明方法的论证形式错误。仅凭这一点，就可以确认传统证明方法是无效的，因为它不是在正确的应用反证法。
破旧立新。下面是笔者对√2不是有理数给出的证明。
命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。
证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；……这样，p将含有无穷多个因数2，这与p是偶数的假设矛盾，说明p不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。
说明：先假设q是整数是必要的，因为否则就推不出2q2是偶数；另外，这个假设也是可满足的，因为√2总可以写成√2=p/q（q是整数）的形式。
附：人教版数学课本七年级下册第58页证明：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
于是                                   p=√2q.
两边平方得                             p2=2q2.
由2q2是偶数，可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即
                                   q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

APB先生

elimqiu 发表于 2017-1-1 23:30
教课书没有大错．自从可以出钱印书后，确实有一些错误百出的书上了市，例如jzkyllcjl 的书等等．但我党决不 ...

        我国高校的多部教科书中都有的实数集不可数定理和对角线法证明就是大错特错 !! 错了 100 多年 ！！其实所谓的无理数不过是无限分数而已\[\frac{\sqrt{2}}{10}=0.1414\cdots\cdots=\frac{1414\cdots\cdots}{10000\cdots\cdots}\]

yangls728

发给人教社中学数学编辑室薛老师的邮件：
√2不是有理数能有两个相互矛盾的反论题吗？
薛老师好，
贵社数学课本七年级下册第58页的表述是：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
……
如果上述思路是合理的，那么，也可以有
假设√2是有理数，那么存在两个非互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
……
但是，√2不是有理数有两个不相容的反论题√2=p/q（p，q互质）和√2=p/q（p，q非互质），这是不可能的！唯一合理的解释是，把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题是错误的。√2不是有理数的反论题只能是“√2是有理数”，即√2= p/q（p和q都是整数）。
以上看法如有不妥，请批评指正。
祝好！
杨六省

我的表述是：
命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。
证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。可固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；……这样，p将含有无穷多个因数2，这与p是偶数的假设矛盾，说明p不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。
说明：证明中固定p是整数也可以。由于我们要证明的是p和q不都是整数，而不是p和q都不是整数，所以，务必先固定其中的一个是整数，否则，论证将无从进行。

yangls728

上文的那个矛盾说明：从√2= p/q（p和q都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。

yangls728

elim 发表于 2024-7-25 11:10
楼主跟某个认为整数比 \(p/q = \sqrt{2}\) 可推出 \(\gcd(p,q)=1\) 的人较劲，只能显出楼主的愚蠢。

...

鲁迅：沉默是最高的轻蔑，讲真话是最大的勇气。
故不辩。

elim

yangls728 发表于 2024-7-24 06:22
上文的那个矛盾说明：从√2= p/q（p和q都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。

楼主跟某个认为整数比 \(p/q = \sqrt{2}\) 可推出 \(\gcd(p,q)=1\) 的人较劲，只能显出楼主的愚蠢。

任意有理数都是某互素整数p,q之比。所以假定 \(\sqrt{2}\) 为有理数就是假定 \(\sqrt{2}\) 是某既约分数 \(\frac{p}{q}\).