《四色问题探秘》一书中的是与非——对张彧典先生《探秘》一书评论的总结（一）

雷明85639720

《四色问题探秘》一书中的是与非
——对张彧典先生《探秘》一书评论的总结（一）
雷  明
（二○一八年元月十七日）

张彧典先生的书自二○一○年出版后，七、八年来，我曾对其中的主要观点进行了多次的评论，总字数要比张先生的书的字数至少要大十几倍以上。并且提出了其书中有明显的错误的地方。但一直也看不到张先生的回复，也不说我的评论是对，还是不对。现在，我对于该书要说的话已经都全部说过了，也该进行总结了。
1、张先生《探秘》一书中的主要内容
1、1  张先生首先简单的介绍了四色问题和坎泊用他自已创造的颜色交换技术对四色猜测的证明，也谈到了赫渥特指出了坎泊在证明中存在着漏洞。这些都是大家都已经了解的普通知识，介绍与不介绍都是无所谓的。但要注意的是，坎泊的换色中用的是“交换”一词。
1、2  介绍了英国的米勒等的文章《理应已知的赫渥伍德范例》（1990年成文，1992年英图牛津大学《数学季刊》发表），介绍了米勒们在赫渥特原着色基础上对赫渥特图的4—着色。其所用的方法就是从赫渥特图中与待着色顶点V相邻的两个着B色的顶点之一（从构形的峰点A逆时针方向转的那个着B色的顶点1）开始进行交换的，再从第一次交换所得到的图中与待着色顶点相邻的两个着D色的顶点之一（同样也是峰点C逆时针方向转的那个着D色的顶点4）进行交换。两次交换后得到了一个可约的K—构形，解决了赫渥特图的4—着色问题。因此，他们把这一方法就叫做赫渥特颠法。用了“颠倒”一词。请注意，“颠倒”与“交换”实质上是相同的过程，都是把一条链中各顶点的颜色进行相互交换。“颠倒”即“交换”也。米勒曾试图用这种方法最终解决四色问题，但当他们又构造出了米勒图后，因无法用这种方法对其进行4—着色，很快的便又放弃了原来的这一打算。
真是无巧不成双，也几乎是在与米勒们构造出米勒图的同时，也是在1990年前后，我国的敢峰先生（敢峰是其笔名，原名方玄初）也构造了同样的图，但敢峰先生却可以对其进行4—着色。因此，我把这个图名叫做“敢峰—米勒图”。
1、3  张先生根据米勒对米勒图的四次颠倒产生了构形类型（即构形峰点所着的颜色）的循环这一情况，“创造”了他的“八次换色大循环”的“Z—换色程序”理论。请注意，这里又用了一个“换色程序”一词。但他用这个“Z—换色程序”仍无法解决米勒图的4—着色问题。于是张先生就认为H—构形分为两类，一类是用“Z—换色程序”可以解决问题的，称为“非周期循环的H—构形”；另一类是用“Z—换色程序”不能解决的，但出现了“恶性循环”的，称为“周期循环的H—构形”。米勒图就是这类“周期循环的H—构形”中的一个。
1、4  由于有了“周期循环的H—构形”，所以张先生又在Z—换色程序的基础上，创造成了“Z＇—换色程序”，来专门解决周期循环的H—构形。这样，张先生就在他的“八次换色大循环”、“Z—换色程序”和“Z＇—换色程序”理论的项础上，构成了他的由九个构形构成的不可免集——九构形集，并进行了所谓的“可视性证明”。
2、对以《探秘》一书中主要内容的评论
2、1  在介绍坎泊证明四色问题时，没有祥细的提出坎泊创造的颜色交换技术的三种作用：一是空出颜色的作用；二是断链的作用；三是转型的作用。也没有指出坎泊只是运用了其中的一项——即空出颜色的作用，所以就在需要运用“断链的作用”和“转型的作用”解决问题时，就显得束手无策了。
2、2  米勒在赫渥特原着色基础上对赫渥特图的4—着色就是运用了坎泊的颜色交换技术的又一作用——转型的作用进行的，一次颠倒（转型交换），就使赫渥特图转化成了可以同时移去两个同色的K—构形了。
运用这一方法对赫渥特图在赫渥特原着色基础上进行4—着色，也早在1990年前后，有我国的雷明，董德周分别使用过，也对赫渥特图进行了4—着色。
2、3  张先生的所谓“四次换色小循环，八次换色大循环”的提法也是不正确的。有构形类型（即峰点颜色）的循环和构形峰点位置的循环两种，不能笼统的只提循环二字。构形类型的循环是四次颠倒就产生一次循环，而构形峰点位置的循环则需要构形类型进行五次循环之后，即进行二十次颠倒之后，才能产生一次循环。这才是真正意义上的“四次换色小循环，二十次换色大循环”。而张先生的所谓“八次换色大循环”实际上是构形类型进行了两次的小循环，仍是小循环的构形类型的循环，不能称为“大循环”。这里还要再说一次，张先生书中第22页中的图6.1“Z—换色程序”的图画得是错误多出的，且有意让人看不明白。以前我们已经指出多次，这里也就不再多说了。
2、4  第先生为解决米勒图的着色问题，“创造”的所谓Z＇—换色程序，也是多余的。
2、4、1  米勒图本来就一个BAB类型的一种H—构形，其中有经过五边形1B，2A，3B三个顶点的环形的A—B链，可以交换经过环形链A—B圈外4D和5C的C—D链，使图中原来连通的A—C链和A—D链就同时断开，成为不连通的。但图却成了仍有两条新的连通的A—C链和A—D链，而这两条链却是不相交叉的，是可以同时移去两个同色B的K—构形（如图1）。

然而经过了一次颠倒的米勒图则是一个DCD类型的另一种H—构形，其中也有经过五边形2A和3B两个顶点的环形的环形链A—B（如图2，a），但这与原图中的A—B链却是不同类型的构形中的A—B链，虽然都是A—B链，但其实质是不同的。
这个图解决时也是交换环形的A—B链外的C—D链，使图变成K—构形的。但这个图交换了C—D链后的图中却没有两条相交叉又连通的A—C链和A—D链，而是只有一条连通的B—C链（如图2，b），不能同时移去两个同色B。
以上这两点，就是张先生解决米勒图构形的办法，他叫做Z＇—换色程序。而这一方法正好就是1992年敢峰先生给他所构造成的“敢峰—米勒图”4—着色的方法，也不是张先生的创造。
      
2、4、2  如果把一次颠倒后的米勒图（图2，a或图3，a）中的C改成A，把D改成B，把B改成C，把A改成D，这个图就是一个有一条经过五边形2D和3C两个顶点的C—D环形链的BAB型构形（如图3，b，）该图与图3，a或图2，a的着色是等效的。图 3，b中则没有环形的A—B环形链，取而代之的则是环形的C—D链。可见，不同类型的构形是不能比较的，不能只图中环形链的颜色是否相同，而要看他们的实质是否相同。
图3，a可以交换环形链A—B外的C—D链，使图中的连通的C—A链和C—B链都断开，变成K—构形而可约，而图3，b也可以交换环形链C—D外的A—B链使图中的连通的A—C链和A—D链也都断开，变成K—构形而可约。这说明了米勒图经过一次颠倒后，就由BAB型的一类H—构形，变成了DCD型的另一类H—构形。
接下来，每进行一次颠倒，图都是在这两类构形之间进行着转化。如何解决这两个类型的H—构形的4—着色问题呢。那就只能是：
①　在BAB型的构形中，把有经过五边形1B，2A，3B三个顶点的环形的A—B链的一类H—构形，我们叫它a类H—构形。交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，都可以使图中原有连通的A—C链和A—D链断开，变成K—构形而可约。1992年敢峰先生在其所著《证明四色定理的新数学——图论中的锁阵运筹》一书（1994年出版）中对属于a类的敢峰—米勒图就是用这种方法进行4—着色的。
米勒图本身就是一个有经过五边形1B，2A，3B三个顶点的环形的A—B链的a类H—构形，不要进行颠倒就可以4—着色的。如果硬要坚持一个方向的颠倒，又不及时的解决问题，就会变成无穷的周期限循环，永远不得4—着色。这一循环是在a类构形与b类构形之间进行的。
②  在BAB型的构形中，把有经过五边形4D和5C两个顶点的环形的C—D链的一类H—构形，我们叫它b类H—构形。交换环形的C—D链内、外的任一条A—B链，也都可以使图中原有连通的A—C链和A—D链断开，变成K—构形而可约。雷明先生1992年在陕西省数学会第七次代表大会暨学术交流会上所作的学术论文报告“赫渥特图的4—着色”中就是用这种方法给属于b类构形的赫渥特图进行着色的。
赫渥特图本身就是一个有经过五边形4D和5C两个顶点的环形的C—D链的b类H—构形，不要进行颠倒就可以4—着色的。否则，搞不好也将会造成图总在b类构形与c类构（下面将会看到，张先生的第一、第三构形都属于c类构形）之间的无穷循环。

由于以上解决a类和b类构形的两种方法，都能使图中原有的连通的A—C链和A—D链断开，所以我把这种方法叫断链法。这就是坎泊颜色交换技术的又一作用——断链的作用。
虽然在米勒图中也有环形的C—D链（如图4，a），但该环形链却是不经过五边形的顶点4D和顶点5C两个顶点的，所以米勒图只属于a类有A—B环形链的的H—构形。如果图中既含有经过五边形1B，2A，3B三个顶点的环形的A—B链，又含有经过五边形4D和5C两个顶点的环形的C—D链（如图4，b），这种构形属于有任何一种有环形链的构形都可以，用两种方法都可以解决（但实际解决时只要用一种解决办法解决就行了）。注意，这里的两种环形链是不会相交的，因为这两种链是一对相反链，相互间是不能穿过的。
实际上，张先生的Z＇—换色程序就是这里的解决两类带有环形链的H—构形的办法，但他却把不同类别的构形混在一起，就理不出头绪来了，所以他只好用了一个“Z＇—换色程序”来单独解决米勒图的问题。实在是没有必要的。
2、5、 张先生的不可免集是硬凑合起来的
张先生的不可免集，是由八个所谓的非周期循环的构形和一个所谓的周期循环的构形（即米勒图）构成。前八个是用连续颠倒法（即Z—换色程序）解决的有解构形，第九个是用Z＇—换色程序解决的有解构形。这就不符合他开始所说的“构形最小，解法相同”的原则了。
2、5、1  张先生的构形集实际上只有三类构形
①　第一构形的虚线图就是我们在上面说的有经过五边形1B，2A，3B三个顶点的环形的A—B链的a类构形，解决办法当然也是交换A—B环内、外的任一条C—D链了。但要注意这里除了五边形的五条边外，其他任何一条边都要看成是链，否则这个构形本身就是一个可同时移去两个同色的K—构形了。
②　第一构形的实线图，是一个可同时移去两个同色B的K—构形，颠倒一次，再进行一次空出颜色的交换，就可移去两个同色B。如果除了五边形的五条边以外的其他各边都是链而不是单边时，才是H—构形，就成为张先生的第八构形了，即经过五边形1B，2A，3B三个顶点的A—B链和经过五边形4D和5C的C—D链都不是环形的，而都是直链（着有颜色的道路）的构形。
③　第二构形实际上就是我们上面说的有经过五边形4D和5C两个顶点的环形的C—D链的b类构形，解决的办法也当然就是交换C—D环内、外的任一条A—B链了。不过这里与第一构形不同，其中除了五边形的五条边外，其他的任何边是不是链同样也都是H—构形。赫渥特图就是具有这种特征的H—构形。这种构形，张先生这里用了两次颠倒，一次空出颜色的交换，才空出了颜色。而若用我们对b类构形的解决办法，只要两次交换就可以解决问题了。
④　第三构形（如图5，a），这个构形与第一构形只是表面上的不同，左右互调了一下位置，而实质上应是属于同一个构形。

⑤　第四到第七构形，与第三构形具有相同的特征，都是在3B与8A间直接就是一条边的构形（如图5，a），所以从顶点3交换了B—C链后，不会产生从顶点1到顶点4的连通链B—D（如图5，b），从而都还可以从顶点1再交换B—D链，因此都是可以同时移去两个同色B的K—构形。而张先生用他的方法，却分别用了五次到八次交换，才解决了问题。这几个构形如果从顶点3B到顶点8A不是一条A—B链时，这几个构形也都将成为他的第八构形了。
⑥　第八构形，是一个A—B链和C—D链都非环形链的构形。该构形既不能交换A—B链也不能交换C—D链，就只有交换关于B的链B—D或B—C（且只能交换其中的一种），使构形转型，这就是坎泊的颜色交换技术的又一个作用——转型的交换，也就是张先生的“颠倒”。这种构形无论是从那个方向进行一次颠倒后，都有两种可能的转型，一种是转化成可以同时移去两个同色D或C的DCD型或CDC型的构形，另一种是转化成DCD型或CDC型的b类H—构形，都是可约的。这种情况已讲过多次了，这里也就不再画图了，请读者自已画一画。最多三次交换就可以解决问题。不知为什么，张先生却用去了九次交换。实在是少慢差费。我们把这一类构形叫做c类H—构形。
⑦　张先生的第一到第八构形，本来就只有三种，他硬凑合成了八种，完全是为了适应他的错误的“八次换色大循环”理论的。这三种分别是：第一构形，第三构形，第四到第八的五个构形，共计七个是一种，都属于c类构形；第二构形是一种，属于b类构形；第一构形中的虚线构形是一种，属于a类构形。第九构形也是属于a类构形的，不能单独构成一种，所以仍是三类H—构形。
2、5、2  张先生的第九个构形是无耐而加上的
张先生的所有九个构形本来都是可以最多只需进行三次交换都可以解决问题的，但他却分别用了从两次交换开始，直到九次交换。这除了满足他的错误的“八次换色大循环”理论之外，又把用他的Z—换色程序（即连续颠倒）解决不了的米勒图，作为一个单独的构形列入。这又满足了张先生把H—构形错误的分为“非周期循环的H—构形”和“周期循环的H—构形”两类构形的理论。其实，这个第九构形实在是因为他没有办法解决了，才加上去的。因为原来他只有八个构形，当他看到了米勒图以后，因无法解决，才加上的。请看张先生的书中第23页与25页中所说的：
他在1994年在山西教育学院学报1994年第二期上发表的《四色猜想的归纳法证明》中，就已经构造出了“一个难点转化七次的可约H构形”。所谓“难点转化”就是构形类型的改变，张先生的构形中难点转化次数都是比颠倒的次数少1的。并说他们把这个构形“最简化并归为可约H构形不可免集中的第八个构形”。接着他们“试图寻找难点转化次数大于7的可约H构形，但至今没有找到。后来，为找这个难点转化次数的上限值及理论依据，又耗去了五年时间，没有结果。”难道“没有找到”和“没有结果”就不再找了吗，这能说明就没有难点转化次数大于7和难点转化次数值的上限吗。接着又说“至2000年新世纪开始，才逐步完成不可免集的大小及理论依据的寻求任务。”至于什么是其理论依据并没有讲。接着就说对于米勒图他们“却无法归入不可免集，而且找不到理论依据。”后来又讲到他们在2003年春节期间，在进行一个游戏时，忽然发现了米勒图“正是在第二个可约H构形之数量组合形式下，进行第五个H构形的相交组合得到的。真是歪打正着！”米勒图“终于有了归宿。”至于，是怎么个“正是在第二个可约H构形之数量组合形式下，进行第五个H构形的相交组合得到的”，后面一句话也没有讲，这能叫人相信吗。这完全是在凑合。在八个构形的基础上加上了一个构形，紧跟着就得解决这个构形。但对于米勒图，“Z—换色程序却无能为力了”，于是张先生就看到了米勒图多次颠倒后，图中都有一个A—B环形链的表面现象，不加分析的认为交换A—B环外的C—D链都可使图变成K—构形而可约。又“创新”了Z＇—换色程序来只解决这一个构形。名之曰是“既有继承又有创新的数学方法”。最后张先生说：“我们所归纳出的九大可约H构形就构成了一个有统一理论依托的不可免集合。”这个“统一”的“理论依托”是什么呢，也没有下文了。就这样蒙混过关了。
2、5、3  张先生的构形集看不出各个构形的结构有明显的不同
张先生一直在强调他的构形集是由四种颜色所能构成的六种色链的不同数量组合与相交组合的结果，请问张先生，你为什么不说明你的构形一个与一个不同的地方在什么地方呢。你在对每个构形颠倒过程的祥解图的文字中只说明了“如何交换”，再“如何交换”，根本就没有指出后一构形与前一构形的数量组合与相交组合不同之处在什么地方嘛。我看连你自已也是说不清楚的，因为你的画画得太乱了，根本看不出什么名堂来，这样就可以好蒙混过关了。
2、5、4  张先生把第一构形和第三构形划为H—构形是错误的
张先生在对每个构形颠倒过程的祥解图的文字中都有这样一句话：“这类构形难点转化×次后，类似K—构形得解。”根据他的难点转化次数比颠倒次数小1看，这句话所指的图就是每个构形颠倒过程图解中的倒数第三个图。的却，这倒数第三个图都是一个可同时移去两个同色的构形。既是这样，你为什么还要把第一构形和第三构形这样的两个可以同时移去两个同色B的构形列入H—构形的不可免集中呢。我多次与你交流过，象第一构形和第三构形那样的图，只能是可同时移去两个同色B的K—构形，仅管其中有两条相交叉的连通链，却不是H—构形。但你却硬要说这两个图不是K—构形而是H—构形。你还曾说，不能同时移去两个同色应是构成H—构形的主要条件，但你却在实际划分中采取另一种模式，这不能不叫人认为你的认识是动荡不定的，没有一个正确的主张。这不仅反映在这里，更重要的还也反映在你的构形集的元素个数上。一会九个，一会三个，一会又是四个，现在又回到了原来的九个，有没有个定形呢。这不能不使人坚定的认为你根本就没有证明你的构形集是否完备的问题。

（未完，接下贴）

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