罗素悖论与康托在集合论中的两个失误

ouyanggeng

文章编：1007-5570（2002）03-0081-04
罗素悖论与康托在集合论中的两个失误
欧阳耿
（漳州师范学院数学系，福建漳州，363000）
摘要：分析了罗素悖论与康托的实数集合不可数证明及康托定理 证明之间的本质性联系，发现康托在这两个非构造性证明中所依赖的、用对角线法所构造出的矛盾其实就是罗素悖论中所揭示的逻辑矛盾．得到明确的结论：康托在这两个证明中的思路与做法是错误的，这样的证明结果不可取．
关键词：非构造性证明；实数集合；康托定理 ；对角线法；罗素悖论
中图分类号：O144     文献标识码：A   
Russell’s Paradox and Kantor’s Two Errors in Set Theory
OUYANG Geng
(Zhangzhou Teachers’ College, Zhangzhou, Fujian 363000, China)
Abstract:    Through a new analysis on the essential relationship between Russell’s Paradox and Cantor’s proof on the uncountability of real number set and the proof on the Cantor’s Theorem of  , a mysterious error was found：the very same logic contradiction was applied in both Russell and Cantor’s work. A conclusion is drown : the ideas and operations in the two Cantor’s proof are wrong and the results are unacceptable.
Key words:   non-constructive proof; real number set; Cantor’s Theorem of  ; diagonal method;  Russell’s Paradox

0  引    言
人们公认康托是实无穷学说的代表，在实无穷领域中做了不少工作．他认为数学中的无穷内容就是一种数学实体，一种实实在在的数量形式．但他仅承认实无穷大数的真实性而否认实无穷小数的真实性，所以在丰富多彩的“实无穷领域”里，他的工作实际上仅限于“实无穷大”的范围．非常遗憾的是康托没有给我们留下任何能够自成体系的哲学中或数学中实无穷大存在性的理论证明，而只有类似如下这种具有商量口气的与“感觉”、“信念”相关的
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收稿日期： 2001-10-30
劝说：代数学和分析学都是建立在实数的基础上，而实数，特别是无理数理论的建立都离不开实无穷；基本序列或戴德金分划都假定实无穷；承认作为变量的潜无穷也必然要承认实无穷，因为变量如能取无穷多个值就要承认有一个供变量能从其中取值的论域，这个论域必然是个实无穷，而且必须事先给定，不能再是变化的，这才有固定的基础．作为实无穷论者，
从康托一贯反对实无穷小数这一事实可看出康托的无穷观是有偏见的：我们可称康托的这种有偏见的无穷观为“偏无穷观”．而他的这种“偏无穷观”必然导致他的实无穷理论不够彻
底、无法自成体系，从而影响到他的某些数学工作内容的客观性及科学性，导致他的某些数学创造活动出现失误或互相矛盾，作者的研究工作证实了这一点．
文献 [1]、[2]、[3]讨论了19世纪末康托在无穷集合论中给出的一种很重要证明的错误，指出了康托在集合论基础理论、数学证明工作中的缺陷．研究表明，正是完全相同的这些缺陷引起罗素构造出了著名的“罗素悖论”．实际上康托比罗素早10年就已经构造出了罗素悖论．康托那类重要证明中的主要内容与罗素悖论在本质上完全相同: 二者都是利用对角线原理进行操作．但由于目的不同，表现形式不同，康托的那类证明的推导结果被当作定理而得到赞美、保护、发扬光大，成为无穷集合论的重要“基础理论”；而罗素悖论的推导结果当时却产生了令人恐惧、悲哀的悖论，引发了第三次数学危机．
1  对角线方法与康托的重要证明
1．1关于实数集合不可数的证明
在实数集合不可数的证明中，康托用区间套方法（1874年）及对角线方法（1890年）证明实数集合不可数．康托在这两个证明中所采用的是反证法，它们在思路上与操作上是完全相同的，但都存在着很隐蔽的错误（〔7〕、〔8〕中已有详细讨论）．一般说来，这类证明必有如下三个步骤：
第一步，假定“所要证明的实数集合可数，则这个集合中的全部元素必定可排成一个序列”，这样就构造出序列（1），用它来表示这个集合的全部元素〔所构造的这个序列（1）实际上是在第二步中就可证明的不含有实数集合中某些元素（如那些可用区间套方法或对角线方法找出的实数）的序列．也就是说，实际所给出的序列（1）必须是仅代表所要证明的实数集合的任何一个子集，它仅含实数集合中的部分元素〕．
第二步，用区间套方法或对角线方法找出序列（1）所无法包容的元素，即找出那些被藏起来的、本来就不可能出现在所构造的序列（1）中、但又确实属于实数集合的元素．
第三步，“发现”序列（1）并不包含实数集合中的全部元素，这与第一步的假设不符，这样得出结论说第一步的假设是错误的，从而“反证”出最后的结论：实数集合不可数．
康托在证明中先“藏起”可用对角线法或区间套法构造出的实数．随意给出个仅含所要证明的实数集合中部分实数的序列（1），并假设它含有实数集合中的全部元素．然后用对角线法或区间套法“弄出”原先所藏的那些元素，说是“发现”序列（1）不含所要证明的实数集合中的全部实数，通过这样一种“先藏起来，然后弄出来给观众看”的作法得出实数集合不可数的结论．现实生活中，人们在变魔术时就是这样操作的！在这里，给出序列（1）的做法，对角线法或区间套法仅是集合论中无数构造子集的方法之一．在康托的证明中，对角线法的成功仅证明一件事实：序列（1）仅代表所要证明的集合的一个子集，它本来就仅含有那集合中的部分元素．对角线法或区间套法与实数集合的不可数性风马牛不相及．康托的这个证明是个典型的数学魔术．当然，在实数集合不可数问题上可能还会有另一种“证明法”：因为人们没有找到一个能代表全体实数的序列，所以实数集合不可数．
还应该指出的是，连续统理论使不少人认为实数集合可以代表线段上的点集，任何一个点都可以用实数来表示．如果人们真的可以用实数来完成数学上的对“点”，对“瞬间”的量的描述，那么芝诺悖论早在人们发现实数时就可以轻而易举地被解决了，并且也不会出现什么“第二次数学危机”！可是别忘了，任何实数，不管多小，都是有穷的数量形式，而第二次数学危机的经验告诉我们，任何有穷的数量形式，不管多小，都无法完成对“点”及“瞬间”的数量上的描述．此外，线段上的“点”这个数学实体自从它进入数学以来，就被定义为一种与有穷数无关的“无度性”的几何量．当然，对任何一个有穷的数量形式，为了方便，人们可以用一个数学实体来表示它．在应用数学中，人们用“点”来表示某个数，但这并不意味着“点”的“无度性”变成了“有度性”，也不意味着实数的“有度性”变成了“无度性”．线段上的“无度性”的点并不等价于某一有穷的实数或有理数（人们曾认为线段上的点与有理数一一对应）．实数的有穷性与线段上的点的“无度性”决定了实数集合与线段上的点集是两个具有本质性区别的集合，之间的元素具有本质性区别，两个集合之间仅具备一种为了方便的，勉强的，形式上的单射关系而不是具备满射关系．那种“线段上的任何点可以用实数来表示”的说法没有任何理论依据，并且与实数的“有穷性”及点的“无度性”性质相悖，不管现有数学中有多少巧妙的“证明”试图劝人们相信“实数与线段上的点一一对应”，那些“证明”肯定都是错误的．任何两个实数都是有穷数，它们之间充满空隙，这些空隙中至少含有象微积分中的“dx”这样一类人们公认存在于数学中的非有穷实数又非零的数量形式，更何况还含有连数性都不具备的其它的“无度性”的几何点．所以，从“有穷性”这个数的性质来考虑，实数根本不可能具备连续的条件，任何两个实数之间都充满空隙，实数是不连续的！从理论上讲，实数的不连续性并没有比有理数的不连续性情况好多少．从有穷数性的角度来说，实数的不连续性完全等价于有理数的不连续性！
1．2  关于康托定理 的证明
现将康托1891年的这个证明[4]摘引如下：
证明  首先证明 ．因为对于任一x S,令f (x)=｛x｝,且当x1≠ 时，｛x1｝≠｛ ｝,即 f (x1)≠f (x2)．故f:S→P(S)是单射函数，因此有
                              （1）其次证明                                                            (2)             假若等号成立，则存在着一一对应φ：S→P(S)．由于对于任一x S,  即φ(x)是S的子集合，φ(x) S．现在要问：这个x是否属于φ(x)? 当然，一般说来，可能是x φ(x),也可能是x φ(x)．现在构造一个集合S0，它是由x φ(x)的那些元素x组成的，即
S0＝{x|x S且x φ(x)}．                        (3)
显然，S0 S，即S0 P（S）．于是，根据φ是一一对应，必然存在一个x0 S,使得φ(x0)=S0．根据逻辑排中律，或者x0 S0,或者x0 S0,二者必有一个且仅有一个成立．
假若x0 S0成立，根据（3）式中对S0中元素的要求，应有x0 φ(x0)，而S0=φ（x0）．从而得到x0 S0．
假若x0 S0,由S0=φ(x0)得x0 φ(x0)．这样一来，根据S0的定义（3），应有x0 S0．
于是，不论x0是否属于S0，都导致矛盾．此矛盾说明在S与P（S）之间存在一一对应是错误的，所以不等式（2）成立．
由（2）与（1）成立即得到欲证明的结论：
．                        （4）
康托在这个证明中引进了一个由（3）式所定义的自我矛盾集合“S0”，证明的思路与作法是错误的，这个“S0事件”其实就是罗素所构造的那种引起第三次数学危机的罗素悖论．悖论本来就因为含有逻辑矛盾才叫做悖论．康托在这个证明中不知道自己引进了一个悖论（罗素悖论的出现比康托的这个证明晚了10年），然后说是发现了“S0事件”中含有逻辑矛盾，再利用这个悖论中的逻辑矛盾来进行反证推理，当然可以轻而易举地得到自己所需的任何结论．人们可模仿康托的这个证明中那种“先引进悖论，再利用悖论中的逻辑矛盾进行反证”的作法，依样画葫芦，去“证明”许多与现有数学中人们的共识相反的结论．
在实数集合不可数和康托定理的证明中，康托都是采用“对角线法加反证法”进行操作的．这类证明中蕴藏着很巧妙的错误．笔者研究结果表明[5]、[6]、[7]、[8]，在现有的理论体系中根本不可能证明实数集合不可数及康托定理 ，任何“某两个无穷集合基数不等”的证明都与现有无穷理论体系相悖，其结论在现有的无穷理论体系中都是错误的！
2对角线方法与罗素悖论
每当谈到第三次数学危机时，人们通常会提到布拉里－弗尔蒂悖论、康托悖论及罗素悖论．特别值得一提的是罗素是在研究前两个悖论时发现它的罗素悖论的．人们普遍认为罗素悖论是对前两个悖论的一种深化，它略去了所有数学上的技术细节，包含了引发第三次数学危机的集合论悖论的精髓，所以人们通常认为是罗素悖论才真正导致第三次数学危机．现将罗素悖论[4]（p125~126）摘引如下：
设T为所有不是自己元素的集合所组成的一个整体，即T： ={x|x x},试问：T属于T吗？
假设T T，T为它自身的元素，即T为T的元素．又因为T的元素具有性质：自己不属于自己，亦即T T．因此这与假设T T矛盾．
假设T T，即T不是自身的元素．由T的定义，T是所有不是自身的元素的集合组成的，
既然T T，T就是T的元素，故T T．这又与假设T T矛盾．
根据上述论证，不管是T T，还是T T，都导致矛盾． 同时，依据逻辑排中律，总有T T或T T之一成立．这样，就得到一个悖论，称它为罗素悖论．
人们公认，罗素悖论开门见山，直接用对角线方法构造了一个含有逻辑矛盾的自我矛盾集合T，省去了所有数学上的技术细节，充分地展示康托在实数集合不可数证明及康托定理 证明中起关键性作用的“秘密武器”-----悖论中的逻辑矛盾，使之成为成功应用对角线方法来暴露现存理论体系缺陷的一件精美数学艺术品．因此人们在悲哀、沮丧的同时也不断地在赞美罗素悖论．
3康托重要证明与罗素悖论之间的本质联系
通过对康托那类证明与罗素悖论的比较可看出，康托的那类证明与罗素悖论的思路与作法在本质上是一致的：构造不同形式的x f(x)的元素组成某集合，然后进行发难，导出最终结果．两类数学证明都是“对角线----矛盾法”的产品．
罗素应用对角线法是为了通过悖论来暴露逻辑矛盾，暴露科学理论体系中的缺陷，在客观上促使人们去完善科学理论体系，产生正向效应． 而康托却是用对角线方法来制造悖论，然后再利用悖论中的逻辑矛盾及现有科学理论体系中的另外一些缺陷，按自己的意愿推导出错误的结论（当然康托自己当时不知道可用对角线法来制造悖论，也不知道有罗素悖论）．这在客观上产生负向效应：以这类证明所推导出的错误结论为基础理论去推导出另一些相关的数学内容．
可见，如果是冷静地用对角线方法来暴露逻辑矛盾，暴露现有科学理论体系中的缺陷，就可构造出触目惊心的悖论．它提醒人们去关注科学理论体系中所存在的问题，从而推动科学向前发展．如数学中增加了“类型论”、“ZF系统”等内容．而当不够冷静地利用对角线方法去编制出逻辑矛盾，再巧妙地将此逻辑矛盾用在某些指向性很强的反证法上去证明我们所要得到的任何内容时，必然稳操胜券，百证百胜．因为这是一种手法很高明的“数学魔术”．我们己在[2]中看到人们不仅可以用这种数学魔术来“变出”实数集合不可数结论，也可以用完全相同的这种数学魔术来“变出”：除自然数集合外一切无穷集合都不可数．
4  结论
实际上康托早在1891年证明康托定理 的同时就已构造出罗素悖论中的那个逻辑矛盾，但他自己不知道那其实就是一个悖论，因此不知不觉地犯了证明论中一大忌讳：利用悖论中的逻辑矛盾来进行推理论证．康托的那类“重要证明”与罗素悖论的推导有相同的背景、相同的基础、相同的产生机制和相同的存在理由，在本质上是同一类东西．所以承认罗素悖论和第三次数学危机存在的同时也就是宣告康托关于实数集合不可数证明及康托定理 证明的错误．康托的这类证明成了数学中错误的非构造性证明的两个典型的反面教材，道出了现有无穷理论体系的缺陷，道出了集合论基础理论的本质性缺陷．
集合论是很重要的基础学科，而“无穷理论”是集合论的基础理论，病态的基础理论必然使集合论中许多工作无法正常开展，特别是使基数理论的研究工作神秘又离谱．数学中本来就不存在希尔伯特1900年在巴黎国际数学家代表大会上的演讲中所提出的，要人门所解决的“连续统假设证明”这一世纪难题．
参考文献
1欧阳耿．康托关于实数集合不数的证明是错误的（J）．黑龙江水专学报，1998，25（4）：116～117
2欧阳耿．现有集合论中一种神秘的错误（J）．西北大学学报，2000，30（4）：8～11
3   欧阳耿．数学基础理论中的两个缺陷 （J）．咯什师院学报，2001，21（1）：44-48  
4   张绵文、王雪生．连续统假设．沈阳：辽宁教育出版社，1989
5   欧阳耿．数学分析中悬而未决的问题（J）．吉安师专学报，1995，16（5）：29～34
6   欧阳耿．数学中与新的无穷观相对应的新数谱（J）．黑龙江水专学报，1996，23（2）：61～62
7   欧阳耿．数学中的新数谱（J）．吉安师专报，1996，17（5）：7～10
8   欧阳耿．数学中实无穷与潜无穷的几个问题（J）．吉安师专学报，1998，19（6）：26～28