在方程 x+y+z=19 的正整数解中，满足任一数皆小于另两数之和的解 (x,y,z) 有几组？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

在方程 x+y+z=19 的正整數解中，滿足任一數皆小於另兩數之和的解 (x,y,z) 有幾組？

王守恩

分析：不妨规定 x <= y <= z，
z 有 9,8,7 三种可能：因为 z < 19×(1/2)，z >19×(1/3)(平均数)，
z = 9 时，x+y+z=1+9+9=2+8+9=3+7+9=4+6+9=5+5+9
z = 8 时，x+y+z=3+8+8=4+7+8=5+6+8
z = 7 时，x+y+z=5+7+7=6+6+7
答：满足任一数皆小于另两数之和的解 (x,y,z) 有 10 组。
有兴趣的网友可参考《这样的三角形有95个》。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

楼上在 x≤y≤z 条件限制下，给出了 10 组解。

如果没有  x≤y≤z 条件的限制，则有下列 45 组解：

( 1)    (1,9,9)
( 2)    (2,8,9)
( 3)    (2,9,8)
( 4)    (3,7,9)
( 5)    (3,8,8)
( 6)    (3,9,7)
( 7)    (4,6,9)
( 8)    (4,7,8)
( 9)    (4,8,7)
(10)    (4,9,6)
(11)    (5,5,9)
(12)    (5,6,8)
(13)    (5,7,7)
(14)    (5,8,6)
(15)    (5,9,5)
(16)    (6,4,9)
(17)    (6,5,8)
(18)    (6,6,7)
(19)    (6,7,6)
(20)    (6,8,5)
(21)    (6,9,4)
(22)    (7,3,9)
(23)    (7,4,8)
(24)    (7,5,7)
(25)    (7,6,6)
(26)    (7,7,5)
(27)    (7,8,4)
(28)    (7,9,3)
(29)    (8,2,9)
(30)    (8,3,8)
(31)    (8,4,7)
(32)    (8,5,6)
(33)    (8,6,5)
(34)    (8,7,4)
(35)    (8,8,3)
(36)    (8,9,2)
(37)    (9,1,9)
(38)    (9,2,8)
(39)    (9,3,7)
(40)    (9,4,6)
(41)    (9,5,5)
(42)    (9,6,4)
(43)    (9,7,3)
(44)    (9,8,2)
(45)    (9,9,1)

fungarwai

王守恩

fungarwai 发表于 2019-4-27 13:57

主帖：在方程 x+y+z=19 的正整数解中，满足任一数皆小于另两数之和的解 (x,y,z) 有几组？
等同于：三条边都是整数的三角形计数问题，
我们设三角形周长为整数 n，n = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,......
对应三角形的个数是 S(n)，则有如下数字串：
  0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8,
12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19, 24, 21, 27, 24, 30,
27, 33, 30, 37, 33, 40, 37, 44, 40, 48, 44, 52, 48, 56, 52,
61, 56, 65, 61, 70, 65, 75, 70, 80, 75, 85, 80, 91, 85, 96,
91, 102, 96, 108, 102, 114, 108, 120, 114, 127, 120, 133,
127, 140, 133, 147, 140, 154, 147, 161, 154, ............