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圆锥曲线三姐妹的六个表兄弟——被遗忘的曲线家族

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发表于 2019-4-25 00:16 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 Ysu2008 于 2019-4-25 00:38 编辑

我们知道,圆锥曲线的极坐标方程有统一形式:

分母是由三角函数余弦 cos 构成 . 如果我们将别的三角函数替换 cos ,将会得到什么曲线?

常用三角函数有六个,由于存在诱导关系,六个函数可归为三类。也就是说,如果我们用 sin 替换 cos,得到的曲线仍然是圆锥曲线,只不过图形相差90度相位差,从几何性质的角度来说,它们是相同的曲线。

如果用其他三角函数替换 cos ,情况就要复杂一些了。

(一)用正割替换余弦,并化为直角坐标方程:

可知它们是四次曲线。分为如下三种:


——上图为四次抛物线,比二次抛物线多了一个圈。



——上图,四次椭圆,也多了一个内圈。



——上图,四次双曲线,还是多了一个圈。

(二)用正切替换余弦,并化为直角坐标方程:

可知它们也是四次曲线。也分为三种:



—— e=1,看上去和抛物线一点也不像。



—— e<1



—— e>1


上述曲线族是圆锥曲线的近亲,历史上可曾有人研究过这些曲线?

以下是收录各种曲线的两个网站,我没有找到上述圆锥曲线的表兄弟,所以我怀疑历史上可能没有人注意到它们。

一个法国人的曲线网站(我一直以为是德语):
http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml

美国人的,网站名字很大气:国家曲线银行(The National Curve Bank)
http://old.nationalcurvebank.org//index/index.htm

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 楼主| 发表于 2019-5-1 21:50 | 显示全部楼层
永远 发表于 2019-4-25 07:29
好贴,求更……

改天再更。

点评

系统完善的东西,拿来学习  发表于 2019-5-1 21:55
期待大作  发表于 2019-5-1 21:55
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发表于 2019-5-2 20:06 | 显示全部楼层
顶贴是种美德.
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