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魔方与数学
数学，恐怕是令很多中学生最为头疼的课之一，繁琐枯燥的数字、代数式、函数，想不明白的线、面、立体，很多人因为它选择了对数学要求相对较低的文科。但是，在它枯燥又晦涩难懂的面纱背后，隐藏着无穷的魅力，只要有一颗愿意去发现、探究的心，数学展现在面前的是奇妙与精彩。
数学可以渗透到日常生活的方方面面，甚至是玩乐，一个简单的游戏，一种普通的玩具，都可能蕴含着数学的精彩。非常高深的数学，很可能就在其中完美体现。本文将从一个风靡世界的玩具——魔方——出发，探讨数学与玩具的完美结合，追寻数学的魅力。
魔方的发明与流行
通常所说的魔方，其国际标准称呼是鲁比克魔方，由匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克·艾尔内于1974年发明。关于鲁比克发明魔方的初衷，流传甚广的一个说法是为了发明一种教具，以帮助学生理解、认识立体空间的构造。鲁比克一开始并没有意识到他发明了一个极 其具有挑战性的益智玩具，当他第一次将自己发明的魔方打乱，才发现了这个后来被无数人反复证明的事实：复原状态的魔方一旦被打乱，想要将其复原是一件极其 困难的事情。有报道说，一个智力正常的英国人从1983年接触魔方开始，花了26年时间才依靠自己的力量将魔方复原。
1980年初，一家玩具公司将魔方带至在巴黎、伦敦和美国的国际玩具博览会上展出，此后不久，随着魔方制造技术的改进，魔方迅速风靡全球，到1982年，短短的3年间魔方在全球就售出了200多万只，而到今天，全世界售出了数亿只魔方，魔方已经成为全球最为流行的玩具之一。
魔方发明以后，就开始有大量的人绞尽脑汁思索如今将其复原，并且更进一步设法在尽可能短的时间内将其复原。随着魔方的流行，相关的比赛开始举办，也建立起相关组织，1981年3月13日，第一场魔方比赛举办，一位慕尼黑人以38秒的复原时间赢得冠军。1982年6月5日，在匈牙利首都布达佩斯举办了第一次国际性的魔方比赛，最短复原时间缩短到了23秒。2003年开始，世界魔方协会开始定期举办魔方比赛，比赛规则、项目都得到发展与完善，并为了减少单次复原时间的偶然性，将冠军改由多次复原的平均时间来决定。在魔方复原方面的竞争异常激烈，创造了一个又一个惊人记录，2011年初，一个澳大利亚人创造了单次6.65秒，平均7.87秒的新纪录。
随着魔方的流行，其他类型的魔方也逐渐被发明。通常所说的魔方指的是三阶魔方，也即魔方每条棱上包含三个小方块。最早的二阶魔方于1970年被发明，而鲁比克在发明三阶魔方后不久重新开发了二阶魔方，以及高于三阶的魔方。迄今为止，高于七阶的魔方已经被发明出来，而从二阶到七阶魔方，都有相关的比赛举办。
在我国，魔方在上世纪80年曾是儿童最为抢手的玩具，但90年代，魔方逐渐被冷遇。近年来，在国内一些魔方高手的努力下，魔方开始重新流行起来，被越来越多的人所关注，并且，魔方不再被认为仅仅是一种儿童手中的玩具，更是一种休闲放松的方式和体育竞技形式，而且极具刺激性与挑战性。国内高手的最短复原时间也逐渐接近国际最好成绩，2010年，阴目仑创造了8.33秒的国内最短单次复原记录，而平均时间的最短记录由李开隆创造，为9.81秒。
魔方的构造及复原方法
魔方核心是三个相互垂直的轴，保证魔方的顺利转动。外观上，由26个小正方体组成一个正方体。包括与中心轴相连的中心方块6个，相对位置固定不动，仅一面涂有颜色。棱块12个，两面有颜色。角块8个，三面有色。复原状态下，魔方没面都涂有相同的颜色，六个面的颜色各不相同。魔方每个面都可以自由转动，从而打乱魔方，形成变化多端的组合。
如前所述，魔方一旦被随意打乱，将其复原是一件极其困难的事。但30多年来，众多魔方玩家已经发明出众多的魔方玩法，可以让一个初学者在短时间内学会将任意排列的魔方复原。复原方法包括层先法、角先法、棱先法、桥式方法、CFOP法等等。其中最早发明的也是最为流行的方法是层先法。
限于篇幅，本文不打算详细讲解魔方的复原步骤，仅对层先法做简要介绍，感兴趣的读者可以到网上搜索相关的教程、视频。可以将魔方看成一个三层结构的立方体， 层先法的基本思想是逐层复原魔方，其第一步是选取任一面作为顶层，在顶层复原出一个十字，但该层四个棱块侧面的颜色必须和侧面四个中心块的颜色对应，如图 所示。之后再逐层复原。熟练掌握后，利用此法可以在一分钟内复原魔方。
魔方与数学：排列组合
魔方复原的困难，一方面在于其打乱后存在着大量的组合。组合的数量可以按照如下方式计算：8个角块可以互换位置，存在8！种组合，又可以翻转，每个角块可以具有3种空间位置，但因为不能单独翻转一个角块，需要除以3，总共存在8!×37种组合；12个棱块可以互换位置，得到12！，又可以翻转，得到212，但因为不能单独翻转一个棱块，也不能单独交换任意两个棱块的位置，需要分别除以2，得到12!×212/(2×2)种组合。
联合起来，得到魔方的所有可能组合数为：
8!×37×12!×212/(2×2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33×1019
这是一个天文数字，如果某位玩家想要尝试所有的组合，哪怕不吃不喝不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花上千亿年的时间才能如愿，这是当前宇宙年龄的约10倍。
实际上，如果将魔方拆开随意组合，其组合情况将多达5.19×1020种。也就是说，如果拆散魔方，再随意安装，有11/12的几率无法恢复原状。所以如果魔方被拆散，安装时应按复原状态安装，否则极可能会无法复原。
魔方复原的另一个困难来自于我们只能安装特定的方式复原，即反复旋转某一面，一面上的9个方块必须整体参与运动，这样我们在复原过程中总是会打乱已经复原的部分，这种限制大大加大了复原魔方的难度。
魔方与数学：群
群论是数学中的一个重要分支，有着广泛的应用。理解群论是困难的，它是部分专业的研究生课程。不过，魔方这个大众化的玩具为理解群论提供了帮助。
首先，用小学生就已熟知的概念说明什么是群。考虑所有的整数以及加法运算，我们能发现如下几个简单的事实：任意两个整数相加所得结果仍然为整数；加法满足交 换律；任一整数与零相加为其本身；任一整数存在相反数并与其相加结果为零。这四条性质分别称为：封闭性；结合律；存在单位元（注：这里的元意为元素，该例 中单位元为整数中的零。）；存在逆元。亦即群的定义为在某种操作下满足上述四个条件的元素的集合。本例中，整数在加法运算下构成一个群。
对魔方的所有独立操作也构成一个群，举一个最简单的例子，对魔方任意面的操作构成一个群，这个群包含四个元素：空操作，记为M0；顺时针旋转90°，记为M1；逆时针旋转90°，记为M-1；旋转180°，记为M2。群运算为任意两个操作的联合操作，例如M1M2，意思为先对魔方某面顺时针旋转90°，再旋转180°。很容易证明这四个元素满足上述四个条件：封闭性、单位元（即M0）、逆元（M1 与M-1互为逆元，M0与 M2的逆元是其本身）都是显然的；对结合律，明显有M1 (M-1M2)= M1 M1= M2，而 (M1 M-1)M2= M0 M2= M2。
对魔方的所有操作，情况复杂一些，但同样可以证明他们构成一个群。
引入群论的一个重要作用在于群论在研究对称性方面的突出优点，考虑魔方的对称性，我们马上发现前面所说的4.33×1019种组合含有极大的水分，他们中有很多其实是完全相同的，只不过是从不同的角度去看而已。考虑了对称性，魔方的实际组合数马上减少到上述数字的1/96。这对魔方的研究提供了极大的帮助。
上帝数字
很显然，任意组合的魔方都可以在有限步骤内复原，那么，问题来了，是否存在复原任意组合魔方所需的最少转动次数N？也即，如果至多进行N次转动便可以将任意魔方复原，这个N具体为多少？这个数字N被成为上帝数字，从魔方刚刚流行的1982年便被提了出来。
寻找上帝数字最直接的办法是对魔方所有的组合情况，对其进行复原并得到所有的最少转动次数N，所有的N中最大的一个便是我们要寻找的上帝数字。但是，如前所述，即使考虑了对称性，魔方的组合情况依然是个天文数字，即使今天，利用世界排名第一的超级计算机，对其进行计算也不现实。
但这难不倒天才的数学家，上帝数字的值从1982年提出时估计的17~52之间，范围逐渐缩小，去年，一个研究团队在Google提供的计算资源支持下，最终证明上帝数字为20。也就是说，对任意的魔方，我们都可以用20次或者更少的转动将其还原。这听起来很不可思议，但已经被众多的魔方玩家所证实。
当然，对任意的魔方，寻找最少的转动步骤是极其困难的，需要针对每种情况寻找特定的步骤。一般的，还是利用本文前面所述的复原办法，只需学习记忆少量的套路或公式，如CFOP法，需要学习记忆119个公式，平均只需55次转动便可复原魔方。
后记
数学是一门充满魅力的学科，在它复杂表面的背后，隐藏着大量极其简单、漂亮的规律。有趣的游戏、手头的玩具，往往在简单中蕴藏着深刻的数学规律；而复杂的数学经常以极其简单、漂亮的形式展现。例如，请将1、11、111、1111、……的平方写下来，从最小的开始，每个占一行，并且全部居中书写，你会发现什么？多么神奇的三角形！
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狗仔卡
发表于 2011-7-24 12:26
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发表于 2011-7-25 08:10