段海豹：数学应追溯起源，面向未来

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[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/04/23 00:00am 第 1 次编辑]

段海豹：数学应追溯起源，面向未来
来源： 科技日报 作者： 姜靖
“我不想在采访中只谈个人，希望有机会介绍我所研究课题的历史发展过程，
并附带介绍一下我的相关工作。”得到记者肯定回答后，段海豹才“勉强”
接受采访。“数学应该追溯起源，面向未来。”段海豹说。

    中国科学院数学与系统科学研究院段海豹的研究成果“舒伯特簇的乘法
法则”获得2010年度国家自然科学奖二等奖。

    用代数拓扑学方法解决了舒伯特演算的根本性问题

    对于段海豹的这项工作，美国《数学评论》评价道，该项工作解决了
“相交理论的一个根本性问题”,是对“相交理论的重要贡献”。

    说起1+1为什么等于2？大家会联想到被誉为数学皇冠上的明珠“哥德巴赫
猜想”。而哥德巴赫猜想只是“希尔伯特（Hilbert）23个问题”中第8问题的
子问题之一。

    “早在1900年，有着‘数学世界的亚历山大’之称的数学家希尔伯特在
巴黎数学家大会上提出了23个重要的问题， 即‘希尔伯特数学问题’。对
20世纪数学科学的全面发展，产生了深远影响，成为许多数学家们竞相研究
的焦点。”段海豹说。

    “舒伯特(Schubert) 计数演算的严格基础” 是希尔伯特第15问题，也是
代数几何学的一个重要主题。到了1950年，它的理论基础已被数学大师范·德瓦尔登
和安得列·韦依等人严格化的“相交理论”所奠定。

    然而，寻求舒伯特演算公式的各种尝试，已有百多年的历史，为许多权威文献
和作者所关注，被称为舒伯特演算“长期悬而未解”的“主要焦点”和 “根本性
问题”。段海豹在他的工作中，发展了代数拓扑学的方法，对于所有舒伯特簇的
乘法演算，获得了统一的计算公式，解决了舒伯特演算的根本性问题。

    “仅从第15问题的题目中，即可看出它的一个核心要求：什么是舒伯特演算？
作为一种数学运算，它所遵循的演算法则或公式为何？”段海豹介绍道，舒伯特
演算属于代数几何学，搞代数几何学的人一直想用代数几何的办法找到一个演算
公式，但是到目前为止还未找到。

    段海豹说：“我用代数拓扑的方法，跟前人完全不一样的方法找到了演算
公式，解决了所有舒伯特簇的乘法演算，并且将这一结果应用于解答拓扑学和
几何学中的课题。”

    对于段海豹的这项工作，美国《数学评论》评价道，该项工作解决了“相交
理论的一个根本性问题”,是对“相交理论的重要贡献”。

    国际同行们于2009年总结道：根据法国科学院院士、美国科学院院士Borel (1953年)、
美国科学院院士Bernstein和 Wolf奖获得者、美国科学院院士Gelfand (1973年)，
以及段海豹 (2005年) 的工作，“舒伯特演算已经理解得十分透彻”。

    “这个问题打动我，是因为早期数学家的传奇历史”

    在整个采访过程中，段海豹反复强调数学的发展史：“介绍历史就是介绍
这个工作的意义。”

    “数学中有许多问题，有些经过了一二十年研究，就得以解答。有些是全局性的、
涉及面广的问题，需要经历漫长的时间，更具挑战性，吸引着大家去探索……”

    在整个采访过程中，段海豹反复强调数学的发展史：“介绍历史就是介绍这个
工作的意义。”

    求解多项式方程组是数学中一个历史悠久，且十分基本的问题，为许多实际
问题所需要。19世纪初，以庞斯列、查勒斯、舒伯特为代表的一批几何学家开创了
“相交理论”，试图直观且以几何方法来解决多项式方程组求解问题。他们的办法是，
每一个多项式决定一张空间曲面，而多项式方程组的每个解，恰好是这些曲面的一个
交点。“这就是‘相交理论’这个名称的来源。”从段海豹的口中，记者新“认识”
了许多数学家。

    “其实希尔伯特第15问题打动我，是因为早期相交理论开创者们的坎坷的工作
经历。”段海豹首先提到的是庞斯列。

    “庞斯列1812年毕业于法国高等理工大学后，加入了军队。作为一个军事工程师，
参加了拿破仑对沙俄帝国的远征，战争失败后，在从莫斯科撤退的过程中被俘，被
关押在位于西伯利亚的一个战俘营，在十分艰苦的环境中，仅靠上大学时学到的画法
几何的知识，用取暖的木炭在墙上作图，他得到了一批相交理论的重要成果，如对偶
原理、连续性原理、圆锥曲线的极和极线以及射影共轭调和，完成了《萨哈多夫备忘录》。
萨哈多夫这个词就是关押他集中营的地名……”

    段海豹认为，每一个时代都会涌现出一批“新数学、新方法”，其中绝大部分，
不久又会被淘汰，周而复始，推陈出新。“对于数学工作者而言，需要面向未来，
准确定位自己的研究课题和方向。”

    段海豹举了牛顿的例子，17世纪，牛顿完成了名著《自然哲学中的数学原理》，
在其中发明了微积分。这本著作起初很不容易读懂，许多地方也不严格，妨碍了
它的普及和应用。到了19世纪，经过许多数学家们的共同努力，用了近一百年的
时间，微积分的内容得以严格化、系统化、条理化，进入了大学讲堂，为越来越多
的普通大众所理解，在这个基础上去做更多的事情，最终能够在今天的自然科学的
众多领域，发挥它的各种作用。

    “这也就是为什么数学工作一方面要检讨过去，同时还要着眼未来。”段海豹说。

    希尔伯特不愧是一位有战略眼光的数学家，他能够从19世纪的许多数学工作中，
敏锐地觉察到未来数学发展的契机和亮点，并以提出第15问题“舒伯特计数演算的
严格基础”的方式，表达他对于19世纪相交理论的重视。

    “20世纪代数几何学的成长历程，见证了他的前瞻性和洞察力。”段海豹说，
Kluwer 出版社2001年版的《数学百科全书》在“舒伯特演算” 栏目中总结道：
“澄清舒伯特计数演算是二十世纪代数几何学的一个重要主题。”W· Fulton 在
他1993年的著作《相交理论》中回顾道： “在已往的两个世纪代数几何学的成功
进程中，相交理论起着中心作用。”

    舒伯特演算不只是一个历史悠久的课题，随着研究工作的深入，它与其它分支
的本质联系，也日显清晰。值得称道的是微分拓扑学中著名的吴公式 (Wu formula)，
吴文俊先生在上世纪40年代末，就是通过舒伯特演算的方法，发现了这个示性类理论
中的基本公式。近来，舒伯特演算的工具，也开始在控制论中得到了应用。