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楼主: 蔡家雄

费马小定理

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 楼主| 发表于 2019-3-8 18:40 | 显示全部楼层
markfang2050 发表于 2019-3-8 18:37
看了你写的东西。基本是中学生的数学思维。

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 楼主| 发表于 2019-3-8 18:47 | 显示全部楼层
不为金钱而来,只为兴趣而来。兴趣是最好的老师。
 楼主| 发表于 2019-3-8 18:54 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2019-3-8 18:47
不为金钱而来,只为兴趣而来。兴趣是最好的老师。

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发表于 2019-3-8 18:57 | 显示全部楼层
:lol:lol:lol
 楼主| 发表于 2019-3-9 09:20 | 显示全部楼层
费马小定理4

任一正整数N都可以表为不超过四个平方数的和。

即:N = a^2+b^2+c^2+d^2

拉格朗日分类证明:

4k+1型素数p=a^2+b^2

8k+3型素数p=a^2+b^2+c^2

8k+7型素数p=a^2+b^2+c^2+d^2

s = 0;
For[k = 0, k <= 100, k++, If[PrimeQ[8 k + 3], s = s + 1;
  Print[s, "-----", 8 k + 3, "-----",
   PowersRepresentations[8 k + 3, 3, 2]]]]

1-----3-----{{1,1,1}}

2-----11-----{{1,1,3}}

3-----19-----{{1,3,3}}

4-----43-----{{3,3,5}}

5-----59-----{{1,3,7},{3,5,5}}

6-----67-----{{3,3,7}}

7-----83-----{{1,1,9},{3,5,7}}

8-----107-----{{1,5,9},{3,7,7}}

9-----131-----{{1,3,11},{1,7,9},{5,5,9}}

10-----139-----{{3,3,11},{3,7,9}}

11-----163-----{{1,9,9}}

12-----179-----{{1,3,13},{3,7,11},{7,7,9}}

13-----211-----{{3,9,11},{7,9,9}}

14-----227-----{{1,1,15},{3,7,13},{5,9,11}}

15-----251-----{{1,5,15},{1,9,13},{3,11,11},{7,9,11}}

16-----283-----{{3,7,15},{9,9,11}}

17-----307-----{{1,9,15},{3,3,17}}

18-----331-----{{5,9,15},{9,9,13}}

19-----347-----{{1,11,15},{3,7,17},{3,13,13}}

20-----379-----{{3,3,19},{3,9,17}}

21-----419-----{{3,7,19},{3,11,17},{5,13,15},{7,9,17},{9,13,13}}

22-----443-----{{1,1,21},{1,9,19},{7,13,15}}

23-----467-----{{1,5,21},{3,13,17},{5,9,19},{11,11,15}}

24-----491-----{{1,7,21},{3,11,19},{5,5,21},{7,9,19},{9,11,17}}

25-----499-----{{3,7,21},{7,15,15}}

26-----523-----{{1,9,21},{3,15,17},{9,9,19}}

27-----547-----{{3,3,23},{5,9,21}}

28-----563-----{{1,11,21},{3,5,23},{7,15,17},{9,11,19},{13,13,15}}

29-----571-----{{3,11,21},{7,9,21},{11,15,15}}

30-----587-----{{1,15,19},{3,7,23},{3,17,17},{5,11,21}}

31-----619-----{{3,9,23},{3,13,21},{13,15,15}}

32-----643-----{{3,3,25},{9,11,21}}

33-----659-----{{3,5,25},{3,11,23},{3,17,19},{7,9,23},{7,13,21},{9,17,17}}

34-----683-----{{3,7,25},{11,11,21},{13,15,17}}

35-----691-----{{5,15,21},{9,9,23},{9,13,21}}

36-----739-----{{1,3,27},{3,17,21},{15,15,17}}

37-----787-----{{3,7,27},{9,9,25},{11,15,21}}
 楼主| 发表于 2019-3-12 15:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2019-3-12 17:36 编辑

设 p 和 4p+1 都是素数,

当 1 <= n < p 时,

设 p^n   mod   (4p+1) = r

则 p是使 r^p   mod   (4p+1) = 1 成立的最小指数。

s = 0;
For[a = p; p = 7; n = 1, n <= MultiplicativeOrder[a, 4 p + 1], n++,
s = s + 1;
Print[s, "-----", a, "---", n, "-----", 4 p + 1, "----", PowerMod[a, n, 4 p + 1]]]


设 4k+1 和 8k+3 都是素数,

当 1 <= n < 4k+1 时,

设 (4k+1)^n   mod   (8k+3) = r

则 4k+1是使 r^(4k+1)   mod   (8k+3) = 1 成立的最小指数。
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