试证：从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 9 的项后所得级数收敛，其和不大于 80

cgl_74

王守恩 发表于 2022-12-30 18:15
不走弯路了！

分母缺数码 "9" 调和级数的和, 见--OEIS--A082838，

我先认真学习一下！

cgl_74

cgl_74 发表于 2022-12-30 19:00
我先认真学习一下！

是我想错了！并不能证明不含9的项数和大于含9的项数和。
陆老师的证明与Kempner series经典证明类似的，只要不遗漏每一项，累计算和，算法是对的。
学习了！

王守恩

正整数中:  使得十进制表示的非零子序列不能被 3 整除。

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 17, 20, 22, 25, 28, 40, 41, 44, 47, 50, 52, 55, 58, 70, 71,
74, 77, 80, 82, 85, 88, 100, 101, 104, 107, 110, 140, 170, 200, 202, 205, 208, 220,
250, 280, 400, 401, 404, 407, 410, 440, 470, 500, 502, 505, 508, 520, 550, 580,....

s=1+1/2+1/4+1/5+1/7+1/8+1/10+1/11+1/14+1/17+1/20+1/22+1/25+........

\(求证：s=\pi\)

elim

王守恩 发表于 2022-12-30 20:55
正整数中:  使得十进制表示的非零子序列不能被 3 整除。

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 17, 20, 22, 25 ...

可以证明这个s是无穷大．

王守恩

elim 发表于 2022-12-31 14:27
可以证明这个s是无穷大．

s=(1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/8)
+(1/10 +1/11 +1/14 +1/17 +1/20 +1/22 +1/25 +1/28 +1/40 +1/41 +1/44 +1/47
+ 1/50 +1/52 +1/55 +1/58 +1/70 +1/71 +1/74 +1/77 +1/80 +1/82 +1/85 +1/88)
+(1/100 +1/101 +1/104 +1/107 +1/110 +1/140 +1/170 +1/200 +1/202+1/205
+ 1/208 +1/220 +1/250 +1/280 +1/400 +1/401 +1/404 +1/407 +1/410+1/440+1/470
+ 1/500 +1/502 +1/505 +1/508 +1/520 +1/550 +1/580 +1/700 +1/701+1/704
+ 1/707 +1/710 +1/740 +1/770 +1/800 +1/802 +1/805 +1/808 +1/820+1/850+1/880)
+  ......

<(1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/8)*1/1 +(1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/8)*4/10
+(1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/8)*7/100+(1 +1/2 +1/4 +1/5 +1/7 +1/8)*10/1000 +......

=(1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/8)*(1/1 + 4/10 + 7/100 + 10/1000 + 13/10000 +......)

=621/280*40/27=23/7

即:s<23/7=22/7=pi

王守恩

求助:

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}+\frac{1}{50}+\frac{1}{60}+\frac{1}{70}+\frac{1}{80}+\frac{1}{90}+\frac{1}{100}\)

\(+\frac{1}{200}+\frac{1}{300}+\frac{1}{400}+\frac{1}{500}+\frac{1}{600}+\frac{1}{700}+\frac{1}{800}+\frac{1}{900}+\frac{1}{1000}+\cdots+\frac{1}{10^{\lfloor n/9\rfloor}*(1+n-9*\lfloor n/9\rfloor)}=\frac{7129}{2268}\)