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在四面体 A-BCD 中,AB=AC=AD=BC=BD=2,已知四面体外接球的体积 V=8π√2/3 ,求 CD

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发表于 2018-12-10 23:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


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发表于 2018-12-12 21:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2018-12-13 07:47 编辑

提示:以AB所在直线为x轴,取AB的中点为O,OD所在直线为y轴建立空间直角坐标系,则由条件易有:A(-1,0,0),B(1,0,0),D(0,√3,0)。设C(a,b,c),球心M(x,y,z),则由AC=BC=2易得a=0,由OC=√3易得b^2+c^2=3,显然c≠0;又由外接球的体积有球的半径r=√2,所以有下列关系式组:
(x+1)^2+y^2+z^2=2,
(x-1)^2+y^2+z^2=2,
x^2+(y-b)^2+(z-c)^2=2,
x^2+(y-√3)^2+z^2=2。
由这些关系式组解得C(0,1/√3,-2√2/√3),C(0,-1/√3,2√2/√3)。
当C(0,1/√3,-2√2/√3)时,求得CD=2,此时ABCD为棱长是2的正四面体,其外接正方体的棱长为√2,对角线长为√6,即它们共同的外接球的直径长,这与其直径为2√2不符;当C(0,-1/√3,2√2/√3)时,求得CD=2√2。
 楼主| 发表于 2018-12-13 00:11 | 显示全部楼层
谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答:





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发表于 2018-12-13 07:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2018-12-13 09:07 编辑

质疑,是的,球心确实是CD的中点。但为何首先就知道呢(只能知道球心在某两个平面的交线上)?若是这样,那么在直角三角形BOD中,由BO=√2,BD=2,易得OD=√2,CD=2√2。甚至可以不用球的体积这个条件。
 楼主| 发表于 2018-12-13 09:12 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2018-12-13 07:45
质疑,是的,球心确实是CD的中点。但为何首先就知道呢?若是这样,那么在直角三角形BOD中,由BO=√2,BD=2, ...

我是先通过试算、观察发现了 O 是 CD 的中点。然后想到,可以设法先证明这一点,

证明了 COD 三点共线,下一步再计算就非常容易了,我在第 3 楼中,就是这样做的。
发表于 2018-12-13 17:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2018-12-15 08:15 编辑

另一思路:令空间四点A、B、C、D共球,球心为O,半径为√2。由OA=OC=√2,AC=2,易知OC⊥OA;同理有OC⊥OB,所以OC⊥平面OAB。同理有OD⊥平面OAB。所以O、C、D共线。故空间四点A、B、C、D每三个点确定的面围成四面体ABCD,且CD为外接球的直径,其长显然为2√2。
发表于 2018-12-13 17:17 | 显示全部楼层
质疑,是的,球心确实是CD的中点。但为何首先就知道呢(只能知道球心在某两个平面的交线上)?若是这样,那么在直角三角形BOD中,由BO=√2,BD=2,易得OD=√2,CD=2√2。甚至可以不用球的体积这个条件。


不能老起半截就质疑,切记!
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